Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 816
2016-09-04 
В задаче исследуются физические явления, имеющие место в счётчике Гейгера. Счётчиком Гейгера называют прибор, предназначенный для регистрации элементарных частиц посредством измерения тока в газе, вызванного этими частицами. Он представляет собой камеру, заполненную газом, например, аргоном. В камере имеется два электрода, чаще всего в виде коаксиальных (соосных) цилиндров (рис.), к которым через резистор $R$ подаётся электрическое напряжение $V$. Образовавшиеся при ионизации ионы и электроны движутся к противоположным электродам. Появляющийся в результате этого ток создаёт на резисторе $R$ напряжение, которое регистрируется и даёт информацию о прошедших через камеру элементарных частицах.
Исследуйте процессы, происходящие в счётчике Гейгера при регистрации $\alpha$-частиц (ядер атомов гелия). Рекомбинацией ионов, а также возникновением лавины ионов пренебречь.
1. Электроёмкость конденсатора, образованного электродами счётчика, $C = 45 пФ$, сопротивление резистора $R =10 МОм$. Счётчик регистрирует $\alpha$-частицы с энергией $E = 5,3 МэВ$. Длина их свободного пробега в газе, заполняющем счётчик, меньше размеров камеры. Энергия, необходимая для образования пары ионов, заряд каждого из которых равен одному элементарному заряду, $E_{i} = 35 эВ$. Как с течением времени будет изменяться напряжение на резисторе после попадания в камеру одной $\alpha$-частицы? Произведение $RC$ много больше времени движения образующихся ионов и электронов в межэлектродном пространстве.
2. Радиус внутреннего цилиндрического электрода (анода) счётчика равен $R_{a} = 3,0 мм$, а внешнего $R_{c} = 10,0 мм$. В результате пролёта ионизирующих частиц на электродах осели ионы, заряд которых, приходящийся на единицу длины цилиндров, равен $\lambda$. Получите выражение для напряжённости поля $E(r)$ и потенциала $\phi (r)$, отсчитываемого от катода, в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндров $(R_{a} \leq r \leq R_{c})$. При какой разности потенциалов между электродами произойдёт пробой газа, если он наступает при напряжённости $E_{b} = 3 МВ/м$?
3. На счётчик, описанный в предыдущем пункте, падает пучок $\alpha$-частиц, ионизирующий ежесекундно $\Gamma$ молекул. Скорость движения $v$ возникающих в результате ионизации положительных ионов пропорциональна напряжённости поля ($v = \mu E$, где $\mu$ - подвижность ионов). Найдите установившееся распределение плотности положительных зарядов в зависимости от расстояния до оси. Рекомбинацией ионов и полем объёмных зарядов пренебречь. Считать, что в установившемся режиме заряд единицы длины цилиндров равен $\lambda$.
Решение:
Попадающие в камеру $\alpha$-частицы ионизируют молекулы газа. Возникшие ионы оседают на электродах, меняя их первоначальный заряд. Затем заряд осевших ионов стекает через резистор $R$, и снова устанавливается равновесие. Предположим, что время оседания зарядов на электродах много меньше времени, в течение которого избыточный заряд рассасывается. Тогда задача сводится, во-первых, к нахождению заряда $Q$, обусловленного осевшими ионами и, во-вторых, к определению напряжения на резисторе $R$ как функции времени $U = U(t)$.
Число пар ионов, генерированных попавшей в камеру частицей, равно $N = E/E_{i}$.. Тогда возникший на электродах вследствие ионизации избыточный заряд
$Q_{0} = e \cdot N = e \frac{E}{E_{i}}$,
где $e$ - элементарный заряд. Восстановление равновесия при протекании через резистор $R$ тока $I$ описывается соотношениями:
$I = \frac{dQ}{dt}, V = - IR + \frac{Q_{e}+Q}{C}, U = IR$.
Здесь $V$ - напряжение источника (рис.), $Q_{e} = CV$ - равновесный заряд конденсатора, $Q$ - избыточный заряд в момент времени $t$, $U$ - напряжение на резисторе. Из этих соотношений следует:
$\frac{dU}{U} = - \frac{dt}{RC}$.
При интегрировании полученного уравнения нужно учесть, что в начальный момент времени $Q = Q_{0} = eE/E_{i}$. Поэтому в этот момент
$U = \frac{Q_{0}}{C} = \frac{eE}{CE_{i}} = 5,4 \cdot 10^{-4} В$.
С учетом этого после интегрирования получаем
$U = \frac{eE}{CE_{i}}e^{-t/RC}$. (1)
Видно, что напряжение на конденсаторе существенно убывает в течение времени $RC$. Поскольку в условии сказано, что $RC$ много больше времени оседания ионов на электродах, то сделанное в процессе решения предположение справедливо.
Счётчики Гейгера, в которых регистрируются импульсы, вызванные отдельными частицами, называют импульсными ионизационными камерами. Величина импульса, как видно из формулы (1), позволяет измерить энергию частицы $E$. Параметр $RC$ характеризует разрешающую способность метода, то есть возможность регистрировать каждую частицу в отдельности. Как следует из решения, $RC$ должно быть много больше времени, в течение которого ионы достигают электродов. Это и ограничивает разрешающую способность импульсной ионизационной камеры. Недостатком метода является его малая чувствительность, обусловленная малостью величины $U$. В данной задаче оказалось, что и $U > \sim 10^{-4} В$. Можно существенно увеличить чувствительность метода, если повысить напряжение источника $V$ до такой величины, при которой возникает вторичная ионизация, вызванная столкновением ионов и электронов с молекулами газа. Эта идея реализуется в так называемых счётчиках Гейгера-Мюллера. В них на электроды подаётся напряжение, близкое к пробивному. Ионизирующие элементарные частицы инициируют образование лавины ионов. Возникает самостоятельный разряд, который гасится специальными радиотехническими средствами. Счётчики Гейгера-Мюллера обладают большой чувствительностью, но не позволяют измерять энергии регистрируемых частиц. Какое напряжение следует подавать на счётчик Гейгера-Мюллера? Ответы на этот и другие вопросы содержатся в пункте два задачи.
В этом пункте требуется найти распределение напряжённости и потенциала электрического поля внутри камеры счётчика Гейгера. Подобные задачи электростатики удобно решать с помощью теоремы Гаусса. В качестве замкнутой поверхности, через которую следует вычислять поток напряжённости поля, возьмём поверхность соосного с электродами цилиндра радиусом г, расположенного между катодом и анодом. Длина цилиндра равна $l$. Напряжённость поля направлена в каждой точке от оси цилиндра. Заряд, заключённый внутри выбранной поверхности, равен $\lambda l$. На основании теоремы Гаусса запишем:
$E(r) 2 \pi rl = \frac{ \lambda l}{ \epsilon_{0}}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная, $E(r)$ - модуль напряжённости поля в точках, удалённых от оси на расстояние $r$. Эту величину и требуется найти:
$E(r) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r}$. (2)
Для нахождения $\phi(r)$ воспользуемся формулой, связывающей потенциал с напряжённостью поля:
$- \frac{d \phi}{dr} = E(r) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r}$.
Проинтегрируем это уравнение, положив потенциал катода равным нулю:
$\phi = \frac{ \lambda}{ 2 \pi \epsilon_{0}} ln \frac{R_{c}}{r}$. (3)
Это ещё одно искомое в задаче соотношение.
Для нахождения пробивного напряжения заметим, что пробой может произойти там, где напряжённость поля достигает критического значения $E_{b}$. Из (2) видно, что поле максимально вблизи анода, то есть при $r = R_{a}$. Оно достигает пробивного значения при $\lambda = \lambda_{b}$, для которого
$E_{b} = \frac{ \lambda_{b}}{ 2 \pi \epsilon_{0} R_{a}}$. (4)
Подставляя величины, соответствующие наступлению пробоя, в формулу (3), получим:
$\phi_{b} = \frac{ \lambda_{b}}{2 \pi \epsilon_{0}} ln \frac{R_{c}}{R_{a}} = E_{b}R_{a} ln \frac{R_{c}}{R_{a}} \approx 11 кВ$.
Таким образом, выясняется, что зарождение ионной лавины, ведущей к пробою, возможно вблизи анода. Чтобы напряжённость поля здесь была близка к пробивному значению, напряжение на счётчике должно быть тем меньше, чем меньше радиус анода. Вот почему анод в счётчиках Гейгера-Мюллера делают в виде тонкой нити.
В отличие от предыдущих пунктов, в пункте 3 анализируется стационарное состояние счётчика, при котором число частиц, генерируемых в любом объёме внутри камеры, равно потоку этих частиц, покидающих данный объём. Счётчики, в которых реализуется такой режим, называют ионизационной камерой непрерывного действия.
Ввиду осевой симметрии конструкции счётчика удобно рассмотреть объём, заключённый между анодом и соосной с ним цилиндрической поверхностью радиусом $r \leq R_{c}$. Число положительных ионов, генерируемых в этом объёме в единицу времени, равно:
$N = \Gamma \pi(r^{2} - R_{a}^{2})l$, (5)
где $l$ — длина выбранной цилиндрической поверхности. Поток ионов, вытекающих из этого объёма в единицу времени, $\Phi(r) = n(r)v(r)2 \pi rl$, где $n(r)$ - число положительных ионов в единице объёма на расстоянии $r$ от оси цилиндра, $v(r)$ - скорость их движения в этом месте. В соответствии с условием $v(r) = \mu E(r)$, а напряжённость $E(r)$ определяется формулой (2). После подстановки этих значений получим:
$\Phi(r) = n(r) \cdot \mu \frac{ \lambda}{ 2 \pi \epsilon_{0} r} \cdot 2 \pi rl = n(r) \frac{ \lambda \mu}{ \epsilon_{0}}l$.
Именно эта величина в стационарном состоянии должна быть равна числу генерируемых ежесекундно в выделенном объёме частиц (5). Поэтому
$n(r) \frac{ \lambda \mu}{ \epsilon_{0}} l = \Gamma \pi (r^{2} - R_{a}^{2})l$, или $n(r) = \frac{ \pi \epsilon_{0} \Gamma}{ \mu \lambda}(r^{2} – R_{a}^{2})$.
Таким образом, концентрация положительных ионов стремится к нулю вблизи анода и достигает наибольшего значения вблизи катода.
В задаче исследуются физические явления, имеющие место в счётчике Гейгера. Счётчиком Гейгера называют прибор, предназначенный для регистрации элементарных частиц посредством измерения тока в газе, вызванного этими частицами. Он представляет собой камеру, заполненную газом, например, аргоном. В камере имеется два электрода, чаще всего в виде коаксиальных (соосных) цилиндров (рис.), к которым через резистор $R$ подаётся электрическое напряжение $V$. Образовавшиеся при ионизации ионы и электроны движутся к противоположным электродам. Появляющийся в результате этого ток создаёт на резисторе $R$ напряжение, которое регистрируется и даёт информацию о прошедших через камеру элементарных частицах.
Исследуйте процессы, происходящие в счётчике Гейгера при регистрации $\alpha$-частиц (ядер атомов гелия). Рекомбинацией ионов, а также возникновением лавины ионов пренебречь.
1. Электроёмкость конденсатора, образованного электродами счётчика, $C = 45 пФ$, сопротивление резистора $R =10 МОм$. Счётчик регистрирует $\alpha$-частицы с энергией $E = 5,3 МэВ$. Длина их свободного пробега в газе, заполняющем счётчик, меньше размеров камеры. Энергия, необходимая для образования пары ионов, заряд каждого из которых равен одному элементарному заряду, $E_{i} = 35 эВ$. Как с течением времени будет изменяться напряжение на резисторе после попадания в камеру одной $\alpha$-частицы? Произведение $RC$ много больше времени движения образующихся ионов и электронов в межэлектродном пространстве.
2. Радиус внутреннего цилиндрического электрода (анода) счётчика равен $R_{a} = 3,0 мм$, а внешнего $R_{c} = 10,0 мм$. В результате пролёта ионизирующих частиц на электродах осели ионы, заряд которых, приходящийся на единицу длины цилиндров, равен $\lambda$. Получите выражение для напряжённости поля $E(r)$ и потенциала $\phi (r)$, отсчитываемого от катода, в зависимости от расстояния $r$ до оси цилиндров $(R_{a} \leq r \leq R_{c})$. При какой разности потенциалов между электродами произойдёт пробой газа, если он наступает при напряжённости $E_{b} = 3 МВ/м$?
3. На счётчик, описанный в предыдущем пункте, падает пучок $\alpha$-частиц, ионизирующий ежесекундно $\Gamma$ молекул. Скорость движения $v$ возникающих в результате ионизации положительных ионов пропорциональна напряжённости поля ($v = \mu E$, где $\mu$ - подвижность ионов). Найдите установившееся распределение плотности положительных зарядов в зависимости от расстояния до оси. Рекомбинацией ионов и полем объёмных зарядов пренебречь. Считать, что в установившемся режиме заряд единицы длины цилиндров равен $\lambda$.
Решение:
Попадающие в камеру $\alpha$-частицы ионизируют молекулы газа. Возникшие ионы оседают на электродах, меняя их первоначальный заряд. Затем заряд осевших ионов стекает через резистор $R$, и снова устанавливается равновесие. Предположим, что время оседания зарядов на электродах много меньше времени, в течение которого избыточный заряд рассасывается. Тогда задача сводится, во-первых, к нахождению заряда $Q$, обусловленного осевшими ионами и, во-вторых, к определению напряжения на резисторе $R$ как функции времени $U = U(t)$.
Число пар ионов, генерированных попавшей в камеру частицей, равно $N = E/E_{i}$.. Тогда возникший на электродах вследствие ионизации избыточный заряд
$Q_{0} = e \cdot N = e \frac{E}{E_{i}}$,
где $e$ - элементарный заряд. Восстановление равновесия при протекании через резистор $R$ тока $I$ описывается соотношениями:
$I = \frac{dQ}{dt}, V = - IR + \frac{Q_{e}+Q}{C}, U = IR$.
Здесь $V$ - напряжение источника (рис.), $Q_{e} = CV$ - равновесный заряд конденсатора, $Q$ - избыточный заряд в момент времени $t$, $U$ - напряжение на резисторе. Из этих соотношений следует:
$\frac{dU}{U} = - \frac{dt}{RC}$.
При интегрировании полученного уравнения нужно учесть, что в начальный момент времени $Q = Q_{0} = eE/E_{i}$. Поэтому в этот момент
$U = \frac{Q_{0}}{C} = \frac{eE}{CE_{i}} = 5,4 \cdot 10^{-4} В$.
С учетом этого после интегрирования получаем
$U = \frac{eE}{CE_{i}}e^{-t/RC}$. (1)
Видно, что напряжение на конденсаторе существенно убывает в течение времени $RC$. Поскольку в условии сказано, что $RC$ много больше времени оседания ионов на электродах, то сделанное в процессе решения предположение справедливо.
Счётчики Гейгера, в которых регистрируются импульсы, вызванные отдельными частицами, называют импульсными ионизационными камерами. Величина импульса, как видно из формулы (1), позволяет измерить энергию частицы $E$. Параметр $RC$ характеризует разрешающую способность метода, то есть возможность регистрировать каждую частицу в отдельности. Как следует из решения, $RC$ должно быть много больше времени, в течение которого ионы достигают электродов. Это и ограничивает разрешающую способность импульсной ионизационной камеры. Недостатком метода является его малая чувствительность, обусловленная малостью величины $U$. В данной задаче оказалось, что и $U > \sim 10^{-4} В$. Можно существенно увеличить чувствительность метода, если повысить напряжение источника $V$ до такой величины, при которой возникает вторичная ионизация, вызванная столкновением ионов и электронов с молекулами газа. Эта идея реализуется в так называемых счётчиках Гейгера-Мюллера. В них на электроды подаётся напряжение, близкое к пробивному. Ионизирующие элементарные частицы инициируют образование лавины ионов. Возникает самостоятельный разряд, который гасится специальными радиотехническими средствами. Счётчики Гейгера-Мюллера обладают большой чувствительностью, но не позволяют измерять энергии регистрируемых частиц. Какое напряжение следует подавать на счётчик Гейгера-Мюллера? Ответы на этот и другие вопросы содержатся в пункте два задачи.
В этом пункте требуется найти распределение напряжённости и потенциала электрического поля внутри камеры счётчика Гейгера. Подобные задачи электростатики удобно решать с помощью теоремы Гаусса. В качестве замкнутой поверхности, через которую следует вычислять поток напряжённости поля, возьмём поверхность соосного с электродами цилиндра радиусом г, расположенного между катодом и анодом. Длина цилиндра равна $l$. Напряжённость поля направлена в каждой точке от оси цилиндра. Заряд, заключённый внутри выбранной поверхности, равен $\lambda l$. На основании теоремы Гаусса запишем:
$E(r) 2 \pi rl = \frac{ \lambda l}{ \epsilon_{0}}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная, $E(r)$ - модуль напряжённости поля в точках, удалённых от оси на расстояние $r$. Эту величину и требуется найти:
$E(r) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r}$. (2)
Для нахождения $\phi(r)$ воспользуемся формулой, связывающей потенциал с напряжённостью поля:
$- \frac{d \phi}{dr} = E(r) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r}$.
Проинтегрируем это уравнение, положив потенциал катода равным нулю:
$\phi = \frac{ \lambda}{ 2 \pi \epsilon_{0}} ln \frac{R_{c}}{r}$. (3)
Это ещё одно искомое в задаче соотношение.
Для нахождения пробивного напряжения заметим, что пробой может произойти там, где напряжённость поля достигает критического значения $E_{b}$. Из (2) видно, что поле максимально вблизи анода, то есть при $r = R_{a}$. Оно достигает пробивного значения при $\lambda = \lambda_{b}$, для которого
$E_{b} = \frac{ \lambda_{b}}{ 2 \pi \epsilon_{0} R_{a}}$. (4)
Подставляя величины, соответствующие наступлению пробоя, в формулу (3), получим:
$\phi_{b} = \frac{ \lambda_{b}}{2 \pi \epsilon_{0}} ln \frac{R_{c}}{R_{a}} = E_{b}R_{a} ln \frac{R_{c}}{R_{a}} \approx 11 кВ$.
Таким образом, выясняется, что зарождение ионной лавины, ведущей к пробою, возможно вблизи анода. Чтобы напряжённость поля здесь была близка к пробивному значению, напряжение на счётчике должно быть тем меньше, чем меньше радиус анода. Вот почему анод в счётчиках Гейгера-Мюллера делают в виде тонкой нити.
В отличие от предыдущих пунктов, в пункте 3 анализируется стационарное состояние счётчика, при котором число частиц, генерируемых в любом объёме внутри камеры, равно потоку этих частиц, покидающих данный объём. Счётчики, в которых реализуется такой режим, называют ионизационной камерой непрерывного действия.
Ввиду осевой симметрии конструкции счётчика удобно рассмотреть объём, заключённый между анодом и соосной с ним цилиндрической поверхностью радиусом $r \leq R_{c}$. Число положительных ионов, генерируемых в этом объёме в единицу времени, равно:
$N = \Gamma \pi(r^{2} - R_{a}^{2})l$, (5)
где $l$ — длина выбранной цилиндрической поверхности. Поток ионов, вытекающих из этого объёма в единицу времени, $\Phi(r) = n(r)v(r)2 \pi rl$, где $n(r)$ - число положительных ионов в единице объёма на расстоянии $r$ от оси цилиндра, $v(r)$ - скорость их движения в этом месте. В соответствии с условием $v(r) = \mu E(r)$, а напряжённость $E(r)$ определяется формулой (2). После подстановки этих значений получим:
$\Phi(r) = n(r) \cdot \mu \frac{ \lambda}{ 2 \pi \epsilon_{0} r} \cdot 2 \pi rl = n(r) \frac{ \lambda \mu}{ \epsilon_{0}}l$.
Именно эта величина в стационарном состоянии должна быть равна числу генерируемых ежесекундно в выделенном объёме частиц (5). Поэтому
$n(r) \frac{ \lambda \mu}{ \epsilon_{0}} l = \Gamma \pi (r^{2} - R_{a}^{2})l$, или $n(r) = \frac{ \pi \epsilon_{0} \Gamma}{ \mu \lambda}(r^{2} – R_{a}^{2})$.
Таким образом, концентрация положительных ионов стремится к нулю вблизи анода и достигает наибольшего значения вблизи катода.
