Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8149
2018-06-15 
Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии $r = 60 см$. Сила отталкивания $F_{1}$ шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной $F_{2} = 160 мкН$. Вычислить заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.
Решение:
Так как изначально заряды отталкивались, то они одного знака. Будем считать $Q_{1} > 0$ и $Q_{2} > 0$. После соприкосновения заряды шаров распределились равномерно и заряд каждого шара стал равен $\frac{Q_{1} + Q_{2} }{2}$. Запишем закон Кулона до и после соприкосновения. Получим систему уравнений:
$\begin{cases} F_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q_{1}Q_{2} }{r^{2} } \\ F_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \left ( \frac{Q_{1} + Q_{2} }{2} \right )^{2} }{r^{2} } \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } \\ F_{2} = \frac{(Q_{1} + Q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \end{cases}$
$\begin{cases} Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } \\ Q_{1} + Q_{2} = 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} F_{2} } \end{cases}$
Решаем
$\frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } + Q_{2} = 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0}F_{2} }$
$Q_{2}^{2} - 4r \sqrt{ \pi \epsilon F_{2} } Q_{2} + 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} = 0$
$D = 16r^{2} \pi \epsilon_{0}F_{2} - 16 \pi \epsilon_{0}r^{2}F_{1} = 16 r^{2} \pi \epsilon_{0}(F_{2} - F_{1} )$
$Q_{2} = \frac{4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} F_{2} } \pm 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0}(F_{2} - F_{1} ) } }{2} = 2r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } ( \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{ F_{2} - F_{1} } )$
Подставим $Q_{2}$ в (1):
$Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}F_{1} }{2r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } ( \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{F_{2} - F_{1} } ) } = \frac{2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} }rF_{1} }{ \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{F_{2} - F_{1} } } = \frac{2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} }rF_{1} ( \sqrt{F_{2} } \mp \sqrt{ F_{2} - F_{1} } ) }{F_{2} - (F_{2} - F_{1} ) } = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } \mp \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
Сравнивая значения $Q_{1}$ и $Q_{2}$ заметим, что отличаются только знаками ($\mp$ и $pm$). То есть когда в $Q_{1}$ выбирается -, то в $Q_{2}$ будет + и наоборот. Так как ситуация симметричная, то выберем один вариант
$Q_{1} = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } + \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
$Q_{2} = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } - \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
$Q_{1} = 2 \sqrt{ 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} } 0,6 ( \sqrt{1,6 \cdot 10^{-4} } + \sqrt{1,6 \cdot 10^{-4} - 7 \cdot 10^{-5} } ) = 1,4 \cdot 10^{-7} Кл$
$Q_{2} = 2 \cdot 10^{-8} Кл$
Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии $r = 60 см$. Сила отталкивания $F_{1}$ шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной $F_{2} = 160 мкН$. Вычислить заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.
Решение:
Так как изначально заряды отталкивались, то они одного знака. Будем считать $Q_{1} > 0$ и $Q_{2} > 0$. После соприкосновения заряды шаров распределились равномерно и заряд каждого шара стал равен $\frac{Q_{1} + Q_{2} }{2}$. Запишем закон Кулона до и после соприкосновения. Получим систему уравнений:
$\begin{cases} F_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q_{1}Q_{2} }{r^{2} } \\ F_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \left ( \frac{Q_{1} + Q_{2} }{2} \right )^{2} }{r^{2} } \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } \\ F_{2} = \frac{(Q_{1} + Q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} r^{2} } \end{cases}$
$\begin{cases} Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } \\ Q_{1} + Q_{2} = 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} F_{2} } \end{cases}$
Решаем
$\frac{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} }{Q_{2} } + Q_{2} = 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0}F_{2} }$
$Q_{2}^{2} - 4r \sqrt{ \pi \epsilon F_{2} } Q_{2} + 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}F_{1} = 0$
$D = 16r^{2} \pi \epsilon_{0}F_{2} - 16 \pi \epsilon_{0}r^{2}F_{1} = 16 r^{2} \pi \epsilon_{0}(F_{2} - F_{1} )$
$Q_{2} = \frac{4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} F_{2} } \pm 4r \sqrt{ \pi \epsilon_{0}(F_{2} - F_{1} ) } }{2} = 2r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } ( \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{ F_{2} - F_{1} } )$
Подставим $Q_{2}$ в (1):
$Q_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}F_{1} }{2r \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } ( \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{F_{2} - F_{1} } ) } = \frac{2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} }rF_{1} }{ \sqrt{F_{2} } \pm \sqrt{F_{2} - F_{1} } } = \frac{2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} }rF_{1} ( \sqrt{F_{2} } \mp \sqrt{ F_{2} - F_{1} } ) }{F_{2} - (F_{2} - F_{1} ) } = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } \mp \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
Сравнивая значения $Q_{1}$ и $Q_{2}$ заметим, что отличаются только знаками ($\mp$ и $pm$). То есть когда в $Q_{1}$ выбирается -, то в $Q_{2}$ будет + и наоборот. Так как ситуация симметричная, то выберем один вариант
$Q_{1} = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } + \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
$Q_{2} = 2 \sqrt{ \pi \epsilon_{0} } r ( \sqrt{F_{2} } - \sqrt{F_{2} - F_{1} } )$
$Q_{1} = 2 \sqrt{ 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} } 0,6 ( \sqrt{1,6 \cdot 10^{-4} } + \sqrt{1,6 \cdot 10^{-4} - 7 \cdot 10^{-5} } ) = 1,4 \cdot 10^{-7} Кл$
$Q_{2} = 2 \cdot 10^{-8} Кл$
