ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол $\alpha$. Шарики погружаются в масло плотностью $\rho_{0} = 8 \cdot 10^{2} кг/м^{3}$. Определить диэлектрическую проницаемость $\epsilon$ масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным. Плотность материала шариков $\rho = 1,6 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.


Решение:


Закон Кулона: $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q_{1}Q_{2} }{ \epsilon r^{2} }$ (1)


$\vec{F}_{} + \vec{F}_{A} + \vec{T} + m \vec{g} = 0$

Так как в первом и втором случаях меняется только $\epsilon$, то заменим $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q_{1}Q_{2} }{r^{2} } = x$ и перепишем формулу (1) в виде $F_{к} = \frac{x}{ \epsilon}$ (2)

1) случай: $F_{A1} = 0; \epsilon = 1$

$x: -F_{к1} + T_{1} \sin \frac{ \alpha}{2} = 0$
$y: T_{1} \cos \frac{ \alpha}{2} - mg = 0$

$\begin{cases} T_{1} = \frac{mg}{ \cos \frac{ \alpha}{2} } \\ - F_{к1} + mg tg \frac{ \alpha}{2} = 0 \end{cases}$

$tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{F_{к1} }{mg} = \frac{x}{mg}$ (3) - вместо $F_{к1}$ подставим (2) с $\epsilon = 1$

2) случай:

$x: -F_{к2} + T_{2} \sin \frac{ \alpha}{2} = 0$
$y: F_{A2} + T_{2} \cos \frac{ \alpha}{2} - mg = 0$

$\begin{cases} T_{2} = \frac{F_{к2} }{ \sin \frac{ \alpha}{2} } \\ F_{A2} + \frac{F_{к2}}{tg \frac{ \alpha}{2} } - mg = 0 \end{cases}$ (4)

$m = \rho V$ (5)

$F_{A2} = \rho_{0} gV$ (6)

Подставим (2),(3),(5) и (6) в (4):

$\rho_{0} gV + \frac{x}{ \epsilon} \frac{ \rho Vg}{x} - \rho Vg = 0$

$\rho_{0} + \frac{ \rho}{ \epsilon} - \rho = 0$

$\rho = \epsilon ( \rho - \rho_{0} )$

$\epsilon = \frac{ \rho}{ \rho - \rho_{0} }$

$\epsilon = \frac{1,6 \cdot 10^{3} }{1,6 \cdot 10^{3} - 8 \cdot 10^{2} } = 2$