Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 814
2016-09-04 
Два параллельных тонких кольца, радиусы которых одинаковы и равны $R = 50 мм$, имеют общую ось. Расстояние между кольцами $d = 12 см$. На первом кольце равномерно распределён заряд $q_{1} = 8,2 \cdot 10^{-7} Кл$, а на втором $q_{2} = 6,0 \cdot 10^{-7} Кл$. Найдите работу $A$ сил электрического поля при перемещении заряда $q = 3,0 \cdot 10^{-9} Кл$ из центра одного кольца в центр другого.
Решение:
Искомая работа выражается через разность потенциалов в начальном и конечном положениях переносимого заряда:
$A = q( \Phi_{2} - \Phi_{1})$. (1)
Потенциалы $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ в центрах колец по принципу суперпозиции полей можно представить в виде
$\Phi = \phi + \psi$, (2)
где $\phi$ - потенциал в центре кольца, создаваемый зарядом этого кольца, а $\psi$ - зарядом другого кольца.
Вначале найдём потенциал $\phi(x)$, создаваемый зарядом $Q$ в точке на оси кольца, удалённой от его центра на величину $x$ (рис.). По принципу суперпозиции
$\phi(x) = \int k \frac{dQ}{r}, k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная, $dQ$ - элементарный заряд кольца и $r = \sqrt{R^{2} + x^{2}}$ - расстояние от рассматриваемой точки до центра кольца. Так как заряд $Q$ распределён по кольцу равномерно, то для потенциала $\phi(x)$ после интегрирования по всему кольцу:
$ \phi(x) = \frac{kQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. (3)
Применяем эту формулу для потенциалов $\phi$ и $\psi$, входящих в (2), для центра первого кольца:
$\Phi_{1} = \phi_{1} + \psi_{1} = \frac{kq_{1}}{R} + \frac{kq_{2}}{ \sqrt{R^{2} + d^{2}}}$. (4)
Аналогично - для центра второго кольца:
$ \Phi_{2} = \phi_{2} + \psi_{2} = \frac{kq_{2}}{R} + \frac{kq_{1}}{ \sqrt{R^{2} + d^{2}}}$. (5)
Формулы (1), (2), (4) и (5) приводят к ответу
$A = kq(q_{2} – q_{1}) \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{ \sqrt{ R^{2} + d^{2}}} \right ) = - 7,3 \cdot 10^{-5} Дж$
Два параллельных тонких кольца, радиусы которых одинаковы и равны $R = 50 мм$, имеют общую ось. Расстояние между кольцами $d = 12 см$. На первом кольце равномерно распределён заряд $q_{1} = 8,2 \cdot 10^{-7} Кл$, а на втором $q_{2} = 6,0 \cdot 10^{-7} Кл$. Найдите работу $A$ сил электрического поля при перемещении заряда $q = 3,0 \cdot 10^{-9} Кл$ из центра одного кольца в центр другого.
Решение:
Искомая работа выражается через разность потенциалов в начальном и конечном положениях переносимого заряда:
$A = q( \Phi_{2} - \Phi_{1})$. (1)
Потенциалы $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ в центрах колец по принципу суперпозиции полей можно представить в виде
$\Phi = \phi + \psi$, (2)
где $\phi$ - потенциал в центре кольца, создаваемый зарядом этого кольца, а $\psi$ - зарядом другого кольца.
Вначале найдём потенциал $\phi(x)$, создаваемый зарядом $Q$ в точке на оси кольца, удалённой от его центра на величину $x$ (рис.). По принципу суперпозиции
$\phi(x) = \int k \frac{dQ}{r}, k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная, $dQ$ - элементарный заряд кольца и $r = \sqrt{R^{2} + x^{2}}$ - расстояние от рассматриваемой точки до центра кольца. Так как заряд $Q$ распределён по кольцу равномерно, то для потенциала $\phi(x)$ после интегрирования по всему кольцу:
$ \phi(x) = \frac{kQ}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}}$. (3)
Применяем эту формулу для потенциалов $\phi$ и $\psi$, входящих в (2), для центра первого кольца:
$\Phi_{1} = \phi_{1} + \psi_{1} = \frac{kq_{1}}{R} + \frac{kq_{2}}{ \sqrt{R^{2} + d^{2}}}$. (4)
Аналогично - для центра второго кольца:
$ \Phi_{2} = \phi_{2} + \psi_{2} = \frac{kq_{2}}{R} + \frac{kq_{1}}{ \sqrt{R^{2} + d^{2}}}$. (5)
Формулы (1), (2), (4) и (5) приводят к ответу
$A = kq(q_{2} – q_{1}) \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{ \sqrt{ R^{2} + d^{2}}} \right ) = - 7,3 \cdot 10^{-5} Дж$
