ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества $\nu = 1 моль$ и находящийся под давлением $p_{1} = 0,1 МПа$ при температуре $T_{1} = 300 К$, нагревают при постоянном объеме до давления $p_{2} = 0,2 МПа$. После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема $V_{1}$. Построить график цикла. Определить температуру $Y$ газа для характерных точек цикла и его термический КПД $\eta$.


Решение:


График процесса в pV координатах:



Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева состояния газа в точке 1:

$p_{1}V_{1} = \nu RT_{1}, R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$
$V_{1} = \frac{ \nu RT_{1} }{p_{1} }$

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева состояния газа в точке 2:

$p_{2}V_{1} = \nu RT_{2}$
$p_{2} \frac{ \nu RT_{1} }{p_{1} } = \nu RT_{2}$
$T_{2} = T_{1} \frac{p_{2} }{p_{1} }$
$T_{2} = 600 К$

Согласно условию задачи кривая 2-3 изотерма, т.е.

$T_{3} = T_{2}$
$T_{3} = 600 К$

Число степеней свободы молекул двухатомного газа

$i =3+2$
$i = 5$

Обозначим

$n_{p} = \frac{p_{2} }{p_{1} }$
$n_{p} = 2$

Газ получает тепло на участках 1-2 и 2-3:

$Q_{in12} = C_{v} \nu (T_{2} - T_{1} ) = \frac{i}{2} R \nu \left (T_{1} \frac{p_{2} }{p_{1} } - T_{1} \right ) = \frac{i}{2} \nu RT_{1} \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } - 1 \right )$
$Q_{in23} = \int p dV = \int p d \frac{ \nu RT_{2} }{p} = - ( \nu RT_{2} ) \int_{p_{2} }^{p_{1} } \frac{1}{p} dp = \nu RT_{1} \frac{p_{2} }{p_{1} } ln \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } \right )$

Газ отдает тепло на участке 3-1:

$Q_{out31} = C_{p} \nu (T_{3} - T_{1} ) = \frac{i + 2}{2} R \nu \left ( T_{1} \frac{p_{2} }{p_{1} } - T_{1} \right ) = \frac{i + 2}{2} \nu RT_{1} \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } - 1 \right )$

КПД:

$\eta = 1 - \frac{Q_{out} }{Q_{in} } = 1 - \frac{ \frac{i+2}{2} (n_{p} - 1 ) }{ \frac{i}{2} (n_{p} - 1 ) + n_{p} ln n_{p} }$
$\eta = 2 \frac{n_{p} ( ln n_{p} - 1 ) + 1 }{i ( n_{p} - 1 ) + 2 n_{p} ln n_{p} }$
$\eta = 0,099$