Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 813
2016-09-04 
В задаче исследуются вольт-амперные характеристики (ВАХ) цепочек, содержащих нелинейные элементы.
1. Бесконечная цепочка (рис.) составлена из резисторов сопротивлением $R$ и диодов с вольт-амперной характеристикой, показанной на рисунке. Найдите вольт-амперную характеристику этой цепочки на участке $U \ll \Delta U$.
2. Цепочка, изображённая на рисунке, состоит из $N$ звеньев. Все элементы цепочки имеют такие же характеристики, как и в предыдущем пункте. Ток через последнее звено равен $I_{0}$. Найдите ток $I$ через всю цепь и напряжение $U$ и на ней. При решении задачи можно воспользоваться формулой $n$-го члена последовательности Фибоначчи ($a_{1} = a_{2} =1, a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}$):
3. Постройте вольт-амперную характеристику бесконечной цепочки, состоящей из одинаковых диодов и одинаковых лампочек (рис.). Вольт-амперные характеристики диода и лампочки приведены на рисунке и обозначены $VD$ и $HL$ соответственно.
Решение:
рис.1
На рисунке 1 изображены первые звенья цепочки, о которой говорится в пункте 1, и указаны токи $I_{1}$ и $I_{2}$ текущие через участки $CA$ и $DA$. При данной в задаче вольт-амперной характеристике идеального диода, его сопротивление равно бесконечности, если подаваемое на него меньше $\Delta U$, иначе напряжение на диоде при любом токе равно $\Delta U$. Учитывая эту особенность диода и применяя закон Ома, получим:
$I_{1} = \frac{U- \Delta U}{R}, I_{2} = \frac{U – 2 \Delta U}{R}$.
Аналогичным образом можно выразить ток $I_{i}$, текущий через $i$-й резистор:
$I_{i} = \frac{U – I \Delta U}{R}$,
если
$i < N = U / \Delta U \gg 1$. (1)
Токи в остальных резисторах отсутствуют, так как напряжение на $(i - 1)$-м резисторе оказывается меньше $\Delta U$. Все токи $I_{i}$ стекаются в узел $A$. Поэтому
$I = \sum_{i=1}^{N}I_{i} = N \frac{U}{R} - \frac{ \Delta U}{R} \sum_{i=1}^{N} i$. (2)
По формуле (1) $N \gg 1$. Поэтому
$\sum_{i=1}^{N}i = \frac{N+1}{2}N \approx \frac{N^{2}}{2}$.
Подставляя в (2) найденное выражение суммы, а также (1), получим
$I = \frac{U^{2}}{ \Delta U R} - \frac{ \Delta U}{2R} \left ( \frac{U}{ \Delta U} \right )^{2} = \frac{U^{2}}{2 \Delta UR}$
то есть вольт-амперная характеристика имеет вид параболы.
Можно предложить и более короткий способ решения. Уменьшение на единицу числа звеньев бесконечной цепочки не изменяет её вольт-амперной характеристики. Другими словами, одна и та же функция связывает как ток $I$ с напряжением между точками $BA$, так и ток на участке $CD$ с напряжением между точками $CA$. Однако, значения этих напряжений отличаются на $\Delta U$, так что если напряжение между $B$ и $A$ равно $U$, то напряжение между $C$ и $A$ равно $U - \Delta U$. Соответственно отличаются значения функции $I(U)$:
$I (U - \Delta U ) = I(U) - \frac{dI}{dU} \Delta U$, (3)
если $\Delta U \ll U$. Ток $I(U)$ втекает в узел $C$, а $I(U - \Delta U)$ вытекает из него. Поэтому
$I(U) = I(U - \Delta U) + \frac{U - \Delta U}{R}$. (4)
Из (3) и (4) следует
$\frac{dI}{dU} \Delta U = \frac{U - \Delta U}{R} \approx \frac{U}{R}$
что даёт после интегрирования
$I = \frac{U^{2}}{2 \Delta UR}$,
поскольку при $U = 0$ ток $I$ также равен нулю.
рис.2
Во втором пункте рассматривается цепочка, последние звенья которой изображены на рисунке 2. Из рисунка видно, что $I_{1} = I_{0}$. Ток $I_{2}$ находим из соотношения
$I_{2}R + \Delta U = I_{1}R + 2 \Delta U + I_{0}R$, или $I_{2} = \frac{ \delta U}{R} + I_{1} + I_{0} = 2I_{0} + \frac{ \Delta U}{R}$. (5)
Ток $I_{3}$ разветвляется в узле $C$. Поэтому $I_{3} = I_{2} + I_{1}$. Аналогичное соотношение справедливо для любого нечётного $k \geq 3$:
$I_{k} = I_{k-1} + I_{k-2}$. (6)
Для любого чётного $k \geq 2$, выполняется соотношение аналогичное (5):
$I_{k} = I_{k-1} + I_{k-2} + \frac{ \Delta U}{R}$, (7)
Второе равенство из (5) позволяет предположить, что для любых $k$ токи можно представить в виде:
$I_{k} = c_{k}I_{0} + b_{k} \frac{ \Delta U}{R}$, (8)
подобрав $a_{k}$ и $b_{k}$ так, чтобы были обеспечены условия (6) и (7), а также $I_{1} = I_{0}$. Нетрудно сообразить, что должны выполняться соотношения:
$c_{0} = c_{1} = 1; c_{k} = c_{k-1} + c_{k-2}$ при $k \geq 2$;
$b_{0} = b_{1} = 0; b_{k} = b_{k-1} + b_{k-2}$ при нечётных $k \geq 3$,
$b_{k} = b_{k-1} + b_{k-2} + 1$ при чётных $k \geq 2$.
Именно такие соотношения определяют известную в математике последовательность чисел Фибоначчи $a_{k}$, так что $c_{k} = a_{k+1}$. Числа $b_{k}$ тоже образуют последовательность Фибоначчи, только:
$b_{k} = a_{k} - 1$ при нечётных $k \geq 3$,
$b_{k} = a_{k}$ при чётных $k \geq 2$.
Искомый в задаче ток $I$ соответствует току $I_{2N-1}$, втекающему в $N$-е звено. Используя заданную в условии формулу $n$-го члена последовательности Фибоначчи, получим ответ:
$I = I_{0} \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N}}{ \sqrt{5}} + \frac{\Delta U}{R} \cdot \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N-1} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N-1}}{ \sqrt{5}} - \frac{ \Delta U}{R}$.
Напряжение на цепочке
$U = 2 \Delta U + (I_{2N} + I_{2N-2})R$.
Подставляя найденные значения токов, получим
$U = I_{0}R \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N+1} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N+1}}{ \sqrt{5}} + \Delta U \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N}}{ \sqrt{5}} + \Delta U$.
рис.3
рис.4
В третьем пункте анализируется бесконечная цепочка, изображённая слева на рисунке 3, а справа её эквивалентная схема. Элемент $X$ имеет такую же вольт-амперную характеристику $I = I(U)$, что и вся цепь, так как свойства бесконечной цепочки не изменяются при уменьшении числа звеньев. На рисунке 4 представлены графики вольт-амперной характеристики диода $VD$ и лампочки $HL$. При малых $U$ оба графика можно приблизительно заменить прямыми линиями и измерить их наклон, тем самым найти эквивалентные сопротивления диода $R_{d}$ и лампочки $R_{b}$. Найдём сопротивление $R_{x}$ элемента , исходя из того, что для бесконечной цепочки сопротивление между точками $A$ и $B$ равно $R_{x}$ (рис. 3). Тогда величина $R_{x}$ является корнем уравнения
$R_{x}^{2} – R_{x}R_{d} - R_{d}R_{b} = 0$.
Получаем
$R_{x} = \frac{R_{d}}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{4R_{b}}{R_{d}}} \right )$.
Строим на графике прямую, наклон которой соответствует $R_{x}$ (рис. 4). Это - начало искомой вольт-амперной характеристики, которая относится также и к участку цепи $X$ (рис.3). Возьмём на этом участке некоторую точку $A$. Ей соответствует напряжение $U_{b}$ на первой лампочке и ток $I_{x}$, текущий через элемент $X$. Ток в начале цепи $I = I_{b} + I_{x}$. Откладываем это значение на вертикальной оси. Находим точку $C$ на графике $VD$ рисунка 4. Ей соответствует значение $U_{d}$ напряжения на первом диоде. Остаётся найти $U = U_{d} + U_{b}$ и построить точку $M$ с координатами $U$ и $I$. Взяв точки в иных местах линейного участка, найдём другие точки искомой вольт-амперной характеристики (рис. 4).
В задаче исследуются вольт-амперные характеристики (ВАХ) цепочек, содержащих нелинейные элементы.
1. Бесконечная цепочка (рис.) составлена из резисторов сопротивлением $R$ и диодов с вольт-амперной характеристикой, показанной на рисунке. Найдите вольт-амперную характеристику этой цепочки на участке $U \ll \Delta U$.
2. Цепочка, изображённая на рисунке, состоит из $N$ звеньев. Все элементы цепочки имеют такие же характеристики, как и в предыдущем пункте. Ток через последнее звено равен $I_{0}$. Найдите ток $I$ через всю цепь и напряжение $U$ и на ней. При решении задачи можно воспользоваться формулой $n$-го члена последовательности Фибоначчи ($a_{1} = a_{2} =1, a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}$):
3. Постройте вольт-амперную характеристику бесконечной цепочки, состоящей из одинаковых диодов и одинаковых лампочек (рис.). Вольт-амперные характеристики диода и лампочки приведены на рисунке и обозначены $VD$ и $HL$ соответственно.
Решение:
рис.1
На рисунке 1 изображены первые звенья цепочки, о которой говорится в пункте 1, и указаны токи $I_{1}$ и $I_{2}$ текущие через участки $CA$ и $DA$. При данной в задаче вольт-амперной характеристике идеального диода, его сопротивление равно бесконечности, если подаваемое на него меньше $\Delta U$, иначе напряжение на диоде при любом токе равно $\Delta U$. Учитывая эту особенность диода и применяя закон Ома, получим:
$I_{1} = \frac{U- \Delta U}{R}, I_{2} = \frac{U – 2 \Delta U}{R}$.
Аналогичным образом можно выразить ток $I_{i}$, текущий через $i$-й резистор:
$I_{i} = \frac{U – I \Delta U}{R}$,
если
$i < N = U / \Delta U \gg 1$. (1)
Токи в остальных резисторах отсутствуют, так как напряжение на $(i - 1)$-м резисторе оказывается меньше $\Delta U$. Все токи $I_{i}$ стекаются в узел $A$. Поэтому
$I = \sum_{i=1}^{N}I_{i} = N \frac{U}{R} - \frac{ \Delta U}{R} \sum_{i=1}^{N} i$. (2)
По формуле (1) $N \gg 1$. Поэтому
$\sum_{i=1}^{N}i = \frac{N+1}{2}N \approx \frac{N^{2}}{2}$.
Подставляя в (2) найденное выражение суммы, а также (1), получим
$I = \frac{U^{2}}{ \Delta U R} - \frac{ \Delta U}{2R} \left ( \frac{U}{ \Delta U} \right )^{2} = \frac{U^{2}}{2 \Delta UR}$
то есть вольт-амперная характеристика имеет вид параболы.
Можно предложить и более короткий способ решения. Уменьшение на единицу числа звеньев бесконечной цепочки не изменяет её вольт-амперной характеристики. Другими словами, одна и та же функция связывает как ток $I$ с напряжением между точками $BA$, так и ток на участке $CD$ с напряжением между точками $CA$. Однако, значения этих напряжений отличаются на $\Delta U$, так что если напряжение между $B$ и $A$ равно $U$, то напряжение между $C$ и $A$ равно $U - \Delta U$. Соответственно отличаются значения функции $I(U)$:
$I (U - \Delta U ) = I(U) - \frac{dI}{dU} \Delta U$, (3)
если $\Delta U \ll U$. Ток $I(U)$ втекает в узел $C$, а $I(U - \Delta U)$ вытекает из него. Поэтому
$I(U) = I(U - \Delta U) + \frac{U - \Delta U}{R}$. (4)
Из (3) и (4) следует
$\frac{dI}{dU} \Delta U = \frac{U - \Delta U}{R} \approx \frac{U}{R}$
что даёт после интегрирования
$I = \frac{U^{2}}{2 \Delta UR}$,
поскольку при $U = 0$ ток $I$ также равен нулю.
рис.2
Во втором пункте рассматривается цепочка, последние звенья которой изображены на рисунке 2. Из рисунка видно, что $I_{1} = I_{0}$. Ток $I_{2}$ находим из соотношения
$I_{2}R + \Delta U = I_{1}R + 2 \Delta U + I_{0}R$, или $I_{2} = \frac{ \delta U}{R} + I_{1} + I_{0} = 2I_{0} + \frac{ \Delta U}{R}$. (5)
Ток $I_{3}$ разветвляется в узле $C$. Поэтому $I_{3} = I_{2} + I_{1}$. Аналогичное соотношение справедливо для любого нечётного $k \geq 3$:
$I_{k} = I_{k-1} + I_{k-2}$. (6)
Для любого чётного $k \geq 2$, выполняется соотношение аналогичное (5):
$I_{k} = I_{k-1} + I_{k-2} + \frac{ \Delta U}{R}$, (7)
Второе равенство из (5) позволяет предположить, что для любых $k$ токи можно представить в виде:
$I_{k} = c_{k}I_{0} + b_{k} \frac{ \Delta U}{R}$, (8)
подобрав $a_{k}$ и $b_{k}$ так, чтобы были обеспечены условия (6) и (7), а также $I_{1} = I_{0}$. Нетрудно сообразить, что должны выполняться соотношения:
$c_{0} = c_{1} = 1; c_{k} = c_{k-1} + c_{k-2}$ при $k \geq 2$;
$b_{0} = b_{1} = 0; b_{k} = b_{k-1} + b_{k-2}$ при нечётных $k \geq 3$,
$b_{k} = b_{k-1} + b_{k-2} + 1$ при чётных $k \geq 2$.
Именно такие соотношения определяют известную в математике последовательность чисел Фибоначчи $a_{k}$, так что $c_{k} = a_{k+1}$. Числа $b_{k}$ тоже образуют последовательность Фибоначчи, только:
$b_{k} = a_{k} - 1$ при нечётных $k \geq 3$,
$b_{k} = a_{k}$ при чётных $k \geq 2$.
Искомый в задаче ток $I$ соответствует току $I_{2N-1}$, втекающему в $N$-е звено. Используя заданную в условии формулу $n$-го члена последовательности Фибоначчи, получим ответ:
$I = I_{0} \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N}}{ \sqrt{5}} + \frac{\Delta U}{R} \cdot \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N-1} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N-1}}{ \sqrt{5}} - \frac{ \Delta U}{R}$.
Напряжение на цепочке
$U = 2 \Delta U + (I_{2N} + I_{2N-2})R$.
Подставляя найденные значения токов, получим
$U = I_{0}R \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N+1} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N+1}}{ \sqrt{5}} + \Delta U \frac{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2N} - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^{2N}}{ \sqrt{5}} + \Delta U$.
рис.3
рис.4
В третьем пункте анализируется бесконечная цепочка, изображённая слева на рисунке 3, а справа её эквивалентная схема. Элемент $X$ имеет такую же вольт-амперную характеристику $I = I(U)$, что и вся цепь, так как свойства бесконечной цепочки не изменяются при уменьшении числа звеньев. На рисунке 4 представлены графики вольт-амперной характеристики диода $VD$ и лампочки $HL$. При малых $U$ оба графика можно приблизительно заменить прямыми линиями и измерить их наклон, тем самым найти эквивалентные сопротивления диода $R_{d}$ и лампочки $R_{b}$. Найдём сопротивление $R_{x}$ элемента , исходя из того, что для бесконечной цепочки сопротивление между точками $A$ и $B$ равно $R_{x}$ (рис. 3). Тогда величина $R_{x}$ является корнем уравнения
$R_{x}^{2} – R_{x}R_{d} - R_{d}R_{b} = 0$.
Получаем
$R_{x} = \frac{R_{d}}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{4R_{b}}{R_{d}}} \right )$.
Строим на графике прямую, наклон которой соответствует $R_{x}$ (рис. 4). Это - начало искомой вольт-амперной характеристики, которая относится также и к участку цепи $X$ (рис.3). Возьмём на этом участке некоторую точку $A$. Ей соответствует напряжение $U_{b}$ на первой лампочке и ток $I_{x}$, текущий через элемент $X$. Ток в начале цепи $I = I_{b} + I_{x}$. Откладываем это значение на вертикальной оси. Находим точку $C$ на графике $VD$ рисунка 4. Ей соответствует значение $U_{d}$ напряжения на первом диоде. Остаётся найти $U = U_{d} + U_{b}$ и построить точку $M$ с координатами $U$ и $I$. Взяв точки в иных местах линейного участка, найдём другие точки искомой вольт-амперной характеристики (рис. 4).
