Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8126
2018-06-15 
В газоразрядной трубке находится неон при температуре $T = 300 К$ и давлении $p = 1 Па$. Найти число $N$ атомов неона, ударяющихся за время $\Delta t = 1 с$ о катод, имеющий форму диска площадью $S = 1 см^{2}$.
Решение:
Молекулы распределены по компонентам скоростей по закону Максвелла, который для одномерного случая можно получить из распределения:
$dn(V_{x} ) = n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - mV^{2}/(2kT) } dV_{x}$
Число молекул, ударяющихся о катод площадью $\Delta S = 1 см^{2}$ за время $\Delta t = 1 c$, найдем из соотношения:
$n = \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} V_{x}dn(V_{x} ) = \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - \frac{mV^{2} }{2kT} } V_{x} dV_{x} = \frac{n_{0} \sqrt{ \alpha / \pi } }{2 \alpha} \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} e^{ - \alpha V^{2} } d( \alpha V_{x}^{2} ) = \Delta S \Delta t \frac{n_{0} \sqrt{ \alpha / \pi } }{2 \alpha} \int_{0}^{ \infty} e^{ - t } dt = \Delta S \Delta t \frac{n_{0} }{2 \sqrt{ \alpha \pi} } \left ( - e^{ - t} \right )_{0}^{ \infty} = \frac{n_{0} \Delta S \Delta t }{2 \sqrt{ \alpha \pi} }$
где $\alpha = \frac{m}{2kT}$
Учитывая, что $\langle V \rangle = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m} } = \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} }$ и $n_{0} = \frac{p}{kT}$, получаем:
$N = \frac{1}{4} n-{0} \langle V \rangle \Delta S \Delta t = \frac{1}{4} \frac{p}{kT} \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} } \Delta S \Delta t = \frac{p \Delta S \Delta t }{4 kT } \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} }$
Вычисление:
$N = \frac{1 \cdot 10^{-4} \cdot 1 }{4 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 400 } \sqrt{ \frac{8 \cdot 8,3 \cdot 400}{20 \cdot 3,14} } \approx 3,38 \cdot 10^{18}$
В газоразрядной трубке находится неон при температуре $T = 300 К$ и давлении $p = 1 Па$. Найти число $N$ атомов неона, ударяющихся за время $\Delta t = 1 с$ о катод, имеющий форму диска площадью $S = 1 см^{2}$.
Решение:
Молекулы распределены по компонентам скоростей по закону Максвелла, который для одномерного случая можно получить из распределения:
$dn(V_{x} ) = n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - mV^{2}/(2kT) } dV_{x}$
Число молекул, ударяющихся о катод площадью $\Delta S = 1 см^{2}$ за время $\Delta t = 1 c$, найдем из соотношения:
$n = \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} V_{x}dn(V_{x} ) = \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - \frac{mV^{2} }{2kT} } V_{x} dV_{x} = \frac{n_{0} \sqrt{ \alpha / \pi } }{2 \alpha} \Delta S \Delta t \int_{0}^{ \infty} e^{ - \alpha V^{2} } d( \alpha V_{x}^{2} ) = \Delta S \Delta t \frac{n_{0} \sqrt{ \alpha / \pi } }{2 \alpha} \int_{0}^{ \infty} e^{ - t } dt = \Delta S \Delta t \frac{n_{0} }{2 \sqrt{ \alpha \pi} } \left ( - e^{ - t} \right )_{0}^{ \infty} = \frac{n_{0} \Delta S \Delta t }{2 \sqrt{ \alpha \pi} }$
где $\alpha = \frac{m}{2kT}$
Учитывая, что $\langle V \rangle = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m} } = \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} }$ и $n_{0} = \frac{p}{kT}$, получаем:
$N = \frac{1}{4} n-{0} \langle V \rangle \Delta S \Delta t = \frac{1}{4} \frac{p}{kT} \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} } \Delta S \Delta t = \frac{p \Delta S \Delta t }{4 kT } \sqrt{ \frac{8RT}{ \mu \pi} }$
Вычисление:
$N = \frac{1 \cdot 10^{-4} \cdot 1 }{4 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 400 } \sqrt{ \frac{8 \cdot 8,3 \cdot 400}{20 \cdot 3,14} } \approx 3,38 \cdot 10^{18}$
