ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Определить относительное число $w$ молекул идеального газа, кинетические энергии которых заключены в пределах от нуля до значения, равного $0,01 E_{в}$ ($E_{в}$ — наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул).


Решение:


$dN(E) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } N \left ( \frac{1}{kT} \right )^{3/2} e^{-E/kT} e^{1/2} dE$
$w = \frac{N(E)}{N} = \int_{0}^{0,01E_{в} } \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{1}{kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{E}{kT} }E^{1/2}dE$,
Так как $\frac{E}{kT} \ll 1$, то $e^{ - \frac{E}{kT} } \approx 1$
$w = \frac{N(E) }{N} = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{1}{kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{0,01E_{в} } \sqrt{E}dE = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{1}{kT} \right )^{2/3} \frac{2}{3} \left . E^{3/2} \right |_{0}^{ 0,01E_{в} } = \left \{ E_{0} = \frac{1}{2} kT \right \} = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{1}{kT} \right )^{3/2} = \frac{2}{3} \left ( \frac{0,01}{2} kT \right )^{3/2} = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \frac{2}{3} \left ( \frac{0,01}{2} \right )^{1,5} = \frac{4}{3 \sqrt{ \pi} } 0,0003535 \approx 2,6596 \cdot 10^{-4}$