ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Считая функцию распределения молекул по энергиям известной, вывести формулу, определяющую долю $w$ молекул, энергия $E$ которых много больше энергии теплового движения молекул.


Решение:


Функция распределения молекул по энергиям $f(E) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } N \frac{e^{ -E/kT} }{(kT)^{3/2} } E^{1/2}$;

Число молекул заключенных в интервале от $E$ до $E + dE$ равно

$dN(E) = Nf(E)dE = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } N \frac{e^{-E/kT} }{(kT)^{3/2} } E^{1/2} dE$

Проинтегрируем

$\Delta N = \int_{E_{0}}^{ \infty} dN(E) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \frac{N}{(kT)^{3/2} } \int_{E_{0} }^{ \infty} e^{ - E/kT}E^{1/2}dE$

Интегрируя по частям $u = E^{1/2}; dv = e^{ - E/kT} dE$. Тогда $du = \frac{1}{2 \sqrt{E} } dE; V = -kTe^{ - E/kT}$. Тогда $\Delta N = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \frac{N}{(kT)^{3/2} } \left ( \left . -E^{1/2} kTe^{ - E/kT} \right |_{E_{0} }^{ \infty} + \frac{kT}{2} \int_{E_{0} }^{ \infty} \frac{e^{ - E/kT} }{ \sqrt{E} } dE \right ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \frac{N}{(kT)^{3/2} } E_{0}^{1/2} kTe^{ - E_{0}/kT } = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \frac{N}{(kT)^{1/2} } E_{0}^{1/2} e^{ - E_{0}/kT }$

Отсюда $w = \frac{ \Delta N}{N} = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{E_{0} }{kT} \right )^{1/2} e^{- E_{0}/kT }$