ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Зная функцию распределения молекул по скоростям в некотором молекулярном пучке $f(v)= \frac{m^{2}}{2k^{2}T^{2} } e^{ - mv^{2}}/(2kT) v^{3}$, найти выражения для: 1) наиболее вероятной скорости $v_{B}$; 2) средней арифметической скорости $\langle v \rangle$.


Решение:


Наиболее вероятная скорость $v_{e}$, может быть найдена из условия $\frac{df(v) }{dv} = 0$.

$\frac{m^{2} }{2k^{2}T^{2} } \left ( 3v^{2}e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } - 2v \frac{m}{2kT} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2} \right ) = 0$

$\frac{m^{2} }{2k^{2}T^{2} } e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } \left ( 3v^{2} - 2v^{4} \frac{m}{2kT} \right ) \Rightarrow 3 - v^{2} \frac{m}{kT} = 0 \Rightarrow 3 = v^{2} \frac{m}{kT} \Rightarrow v_{e} = \sqrt{ \frac{3kT}{m} }$

Среднюю арифметическую скорость $\langle v \rangle$ можно определить по общему правилу вычисления среднего:

$\langle v \rangle = \frac{ \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv }{ \int_{0}^{ \infty} f(v)dv }$ (1)

Функция распределения молекул по скоростям уже нормирована на единицу, т. е. $\int_{0}^{ \infty} f(v)dv = 1$. С учётом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

$\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv$ (2)

Подставим выражение $f(v)$ из функции распределения молекул по скоростям в формулу (2):

$\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} \frac{m^{2} }{2k^{2}T^{2} } e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{4}dv$.

Вынесем величины, не зависящие от $v$, за знак интеграла:

$\langle v \rangle = \frac{m^{2} }{2k^{2}T^{2} } \int_{0}^{ \infty} v^{4} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} }dv$.

Этот интеграл можно свести к табличному

$\int_{0}^{ \infty} x^{4}e^{-ax^{2} } dx = \frac{3}{8} \sqrt{ \pi} a^{ - 5/2}$, подставив $a = \frac{m}{2kT}$

Получаем формулу

$\langle v \rangle = \frac{1}{2} \left ( \frac{m}{kT} \right )^{2} \frac{3}{8} \sqrt{ \pi} \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{ -5/2 } = 3 \left ( \frac{ \pi kT}{2kT} \right )^{1/2} = 3 \sqrt{ \frac{ \pi kT}{8m} } $