Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8119
2018-06-15 
Определить, какая из двух средних величин, $\langle v \rangle$ или $1/ \langle v \rangle$, больше, и найти их отношение $k$.
Решение:
$f(v) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2}$
функция распределения молекул по скоростям
$\langle x \rangle = \int_{0}^{ \infty} xf(x)dx, f(x)$ - функция распределения х
Таким образом
1) $\langle 1/v \rangle = \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{v} f(v)dv = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v dv = \frac{2}{ \sqrt{ \pi}} \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } d (v^{2} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \left ( - \frac{2kT}{m} \right ) \left . e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } \right |_{ \infty}^{0} = - \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } = \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2} (e^{ - \infty} - e^{0} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2}$
2) $\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv - \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2} v dv = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2}d( v^{2} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{1/2}$
3) $\frac{ \langle 1/v \rangle }{1 / \langle v \rangle } = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2} \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{1/2} = \frac{2}{ \pi} = 1,27$
Определить, какая из двух средних величин, $\langle v \rangle$ или $1/ \langle v \rangle$, больше, и найти их отношение $k$.
Решение:
$f(v) = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2}$
функция распределения молекул по скоростям
$\langle x \rangle = \int_{0}^{ \infty} xf(x)dx, f(x)$ - функция распределения х
Таким образом
1) $\langle 1/v \rangle = \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{v} f(v)dv = \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v dv = \frac{2}{ \sqrt{ \pi}} \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } d (v^{2} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \left ( - \frac{2kT}{m} \right ) \left . e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } \right |_{ \infty}^{0} = - \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } = \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2} (e^{ - \infty} - e^{0} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2}$
2) $\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv - \frac{4}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2} v dv = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{2}d( v^{2} ) = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{1/2}$
3) $\frac{ \langle 1/v \rangle }{1 / \langle v \rangle } = \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{m}{2kT} \right )^{1/2} \frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \left ( \frac{2kT}{m} \right )^{1/2} = \frac{2}{ \pi} = 1,27$
