ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Зная функцию распределения молекул по скоростям, определить среднюю арифметическую скорость $\langle v \rangle$ молекул.


Решение:


Среднюю арифметическую скорость $\langle v \rangle$ можно определить по общему правилу вычисления среднего:

$\langle v \rangle = \frac{ \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv }{ \int_{0}^{ \infty} f(v)fv }$ (1)

Функция распределения молекул по скоростям уже нормирована на единицу т. е. $\int_{0}^{ \infty} f(v)dv = 1$

С учётом нормировки формулу (1) перепишем иначе

$\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} vf(v)dv$ (2)

Подставим выражение $f(v)$ из функции распределения молекул по скоростям в формулу (2):

$\langle v \rangle = \int_{0}^{ \infty} 4 \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } v^{3}dv$

Вынесем величины, не зависящие от $v$, зa знак интеграл

$\langle v \rangle = 4 \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv$

Этот интеграл можно свести к табличному

$\int_{0}^{ \infty} x^{3} e^{ - ax^{2} } dx = \frac{1}{2}a^{-2}$, подставив $a = \frac{m}{2 kT }$

Получаем формулу:

$\langle v \rangle = 4 \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \frac{1}{2} \left ( \frac{2}{2kT} \right )^{-2} = \left ( \frac{8kT}{ \pi m} \right )^{1/2} = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m} }$