Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8113
2018-06-15 
Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой $n = 50 с^{-1}$. Радиус $a$ ротора равен 0,5 м. Определить давление $p$ газа на стенки ротора, если в его центре давление $p_{0}$ равно нормальному атмосферному. Температуру $T$ по всему объему считать одинаковой и равной 300 К.
Решение:
Если газ настолько вязок что участвует во вращении вместе с центрифугой, то его молекулы движутся с нормальным ускорением, величина которого
$\vec{a}_{n} = - \omega^{2} \vec{r}_{0}$
где $\vec{r}_{0}$ - радиус-вектор, проведенный из центра центрифуги.
Теперь перенесемся в неинерциальную систему отсчета жестко связанную с центрифугой. Для того, чтобы оперировать в этой системе как в инерциальной, необходимо учесть силу инерции, действующую на каждую молекулу газа массы $m_{0}$:
$\vec{F}_{i} = - m_{0} \vec{a}_{n}$
$\vec{F}_{i} = m_{0} \omega^{2} \vec{r}_{0}$
Можно утверждать, что молекулы газа находятся в потенциальном поле, потенциальная энергии молекулы в котором возрастает (по модулю) с удалением от центра:
$W_{p0} = - \frac{1}{2} m_{0} \omega^{2} r_{0}^{2}$
Действительно, сила действующая на молекулу
$\vec{F}_{0} = - grad W_{p0} = \frac{1}{2} m_{0} \omega^{2} \left ( \frac{d}{dr_{0} } r_{0}^{2} \right ) \frac{ \vec{r}_{0} }{r_{0} } = m_{0} \omega^{2} \vec{r}_{0} = \vec{F}_{i}$
В соответствии с распределением Больцмана, найдем, что давление в газе:
$p(r_{0} ) = p_{0} e^{ - \frac{W_{p0}(r_{0} ) }{kT} }$
$p(r_{0} ) = e^{ \frac{m_{0} \omega^{2} r_{0}^{2} }{2kT} } = p_{0}e^{ \frac{M (2 \pi n)^{2} r_{0}^{2} }{2RT} } = p_{0}e^{ \frac{2 \pi^{2} Mn r_{0}^{2} }{RT} } $
Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$
Молярная масса радона $M = 0,222 кг/моль$
Давление газа на стенки:
$p = p_{0} e^{ \frac{2 \pi^{2} Mn^{2} r_{m}^{2} }{RT} } $
$p = 3,04 \cdot 10^{5} Па$
Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой $n = 50 с^{-1}$. Радиус $a$ ротора равен 0,5 м. Определить давление $p$ газа на стенки ротора, если в его центре давление $p_{0}$ равно нормальному атмосферному. Температуру $T$ по всему объему считать одинаковой и равной 300 К.
Решение:
Если газ настолько вязок что участвует во вращении вместе с центрифугой, то его молекулы движутся с нормальным ускорением, величина которого
$\vec{a}_{n} = - \omega^{2} \vec{r}_{0}$
где $\vec{r}_{0}$ - радиус-вектор, проведенный из центра центрифуги.
Теперь перенесемся в неинерциальную систему отсчета жестко связанную с центрифугой. Для того, чтобы оперировать в этой системе как в инерциальной, необходимо учесть силу инерции, действующую на каждую молекулу газа массы $m_{0}$:
$\vec{F}_{i} = - m_{0} \vec{a}_{n}$
$\vec{F}_{i} = m_{0} \omega^{2} \vec{r}_{0}$
Можно утверждать, что молекулы газа находятся в потенциальном поле, потенциальная энергии молекулы в котором возрастает (по модулю) с удалением от центра:
$W_{p0} = - \frac{1}{2} m_{0} \omega^{2} r_{0}^{2}$
Действительно, сила действующая на молекулу
$\vec{F}_{0} = - grad W_{p0} = \frac{1}{2} m_{0} \omega^{2} \left ( \frac{d}{dr_{0} } r_{0}^{2} \right ) \frac{ \vec{r}_{0} }{r_{0} } = m_{0} \omega^{2} \vec{r}_{0} = \vec{F}_{i}$
В соответствии с распределением Больцмана, найдем, что давление в газе:
$p(r_{0} ) = p_{0} e^{ - \frac{W_{p0}(r_{0} ) }{kT} }$
$p(r_{0} ) = e^{ \frac{m_{0} \omega^{2} r_{0}^{2} }{2kT} } = p_{0}e^{ \frac{M (2 \pi n)^{2} r_{0}^{2} }{2RT} } = p_{0}e^{ \frac{2 \pi^{2} Mn r_{0}^{2} }{RT} } $
Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$
Молярная масса радона $M = 0,222 кг/моль$
Давление газа на стенки:
$p = p_{0} e^{ \frac{2 \pi^{2} Mn^{2} r_{m}^{2} }{RT} } $
$p = 3,04 \cdot 10^{5} Па$
