2018-06-15
В центрифуге с ротором радиусом $a$, равным 0,5 м, при температуре $T = 300 К$ находится в газообразном состоянии вещество с относительной молекулярной массой $M_{г} = 10^{3}$. Определить отношение $n_{a}/n_{0}$ концентраций молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с частотой $n = 30 с^{-1}$.
Решение:
1) Распределение Больцмана
$n = n_{0}e^{ -u/kT}$
$k$ - коэффициент Больцмана, $u$ - потенциальная энергия в поле центробежной силы инерции $F = m \omega^{2}r$ ($m$ - масса молекулы)
2) $F = - \frac{du}{dr} \Rightarrow du = - Fdr$ или $du = - m \omega^{2}rdr$
3) $u = - m \omega^{2} \int_{0}^{r} rdr = - \frac{m \omega^{2}r^{2} }{2}$, значение концентрации частиц в центрофуге: $n = n_{0} e^{ \frac{m \omega^{2}r }{2kT} }$
на оси ротора: $r = 0, n = n_{0}$
у стены ротора: $r = a, n_{a} = n_{0}e^{ \frac{m \omega^{2}a^{2} }{2kT} }$
Тогда $\frac{n_{a} }{n_{0} } e^{ \frac{m \omega^{2}a^{2} }{2kT} }$
Выразим $m$ молекулы через $M$ по формуле $m = \frac{M}{N_{A} }$
Так как $N_{A} k = R$ (молярная газовая постоянная) $\Rightarrow \frac{n_{a} }{n_{0} } e^{ \frac{m \omega^{2}a^{2} }{2RT} } = e^{ \frac{2 \pi n^{2} Ma^{2} }{RT} }, \omega = 2 \pi n$
$\frac{n_{a} }{n_{0} } = 5,91$