Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 810
2016-09-04 
Имеется батарейка с ЭДС $\cal{E}_{1}$ и внутренним сопротивлением $r_{1}$, а также некоторое количество одинаковых батареек с ЭДС $\cal{E}_{2} = \cal{E}_{1}/2$. Если последовательно с батареей $\cal{E}_{1}$ подключить некоторое количество батареек $\cal{E}_{2}$ и нагрузку, то сила тока в цепи при любом количестве батареек $\cal{E}_{2}$ будет одинаковой. Если же к батарейке $\cal{Е}_{1}$ параллельно подсоединить любое число батареек $\cal{E}_{2}$ и ту же нагрузку, то сила тока через неё останется равной прежнему значению. Полярности всех батарей считать одинаковыми. Найдите сопротивление нагрузки $R$, а также внутреннее сопротивление $r_{2}$ батареек $\cal{E}_{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На рисунке 1 изображена схема цепи с последовательным соединением элементов. Запишем для неё закон Ома:
$I = \frac{ \cal{E}_{1} + n \cal{E}_{2}}{R + r_{1} + nr_{2}}$, (1)
где $I$ - ток нагрузки. При $n = 0$ из (1) получим
$I = \frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (2)
При очень больших $n$ из (1) следует:
$I = \frac{ n \cal{E}_{2}}{nr_{2}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{r_{2}}$. (3)
Поскольку ток нагрузки по условию не зависит от $n$, из (2) и (3) получаем:
$\frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{r_{2}}$ или $R + r_{1} = 2r_{2}$. (4)
Рассмотрим теперь цепь с параллельным соединением батареек, схема которой изображена на рисунке 2. Она эквивалентна цепи, изображённой на рисунке 3, где $I_{eq}$ - ток в эквивалентном источнике $\cal{E}_{2}$, а $r_{eq} = r_{2}/n$ - его внутреннее сопротивление. В этом можно убедиться, применив правила Киргофа для контура, состоящего из нагрузки $R$ и одной из батареек $\cal{E}_{2}$:
$I \left ( R + \frac{r}{n} \right ) = \cal{E}_{2}$, или $I(R + r_{eq}) = \cal{E}_{eq}$.
По первому правилу Киргофа
$I_{eq} = I - I_{1}$.
Второе правило Киргофа для внешнего контура схемы, показанной на рисунке 3, даёт:
$ \cal{E_{1}} = I_{1}r_{1} + IR$, откуда $I_{1} = \frac{\cal{E_{1}} – IR}{r_{1}}$.
При $n = 0$ ток $I_{eq} = 0$ и тогда
$I = I_{1} = \frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (5)
В случае бесконечного числа $n$ батареек $\cal{E}_{2}$ сопротивление $r_{eq} = 0$, а ток нагрузки принимает прежнее значение $I$. Поэтому второе правило Киргофа для контура $\cal{E}_{2} - R$ приводит к соотношению
$I = \frac{ \cal{E}_{2}}{R}$.
Из последнего уравнения и уравнения (5) найдём:
$\frac{ \cal{E}_{1}}{R+r_{1}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{R}$, или $R + r_{1} = 2R$. (6)
Из (4) и (6) следует ответ: $R = r_{1}$ и $r_{2} = r_{1}$.
При решении данной задачи использован полезный метод эквивалентных схем. Группу соединённых друг с другом источников тока можно заменить одним эквивалентным источником. На практике используют батареи элементов. При последовательном соединении источников одинаковой полярности ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника равны сумме соответствующих величин для составляющих элементов. Параллельно соединяют одинаковые источники. Эквивалентная ЭДС в этом случае равна ЭДС отдельных элементов, зато внутреннее сопротивление эквивалентного источника меньше сопротивления одного элемента. При соединении п элементов внутреннее сопротивление полученной батареи в п раз меньше сопротивления отдельного элемента.
Имеется батарейка с ЭДС $\cal{E}_{1}$ и внутренним сопротивлением $r_{1}$, а также некоторое количество одинаковых батареек с ЭДС $\cal{E}_{2} = \cal{E}_{1}/2$. Если последовательно с батареей $\cal{E}_{1}$ подключить некоторое количество батареек $\cal{E}_{2}$ и нагрузку, то сила тока в цепи при любом количестве батареек $\cal{E}_{2}$ будет одинаковой. Если же к батарейке $\cal{Е}_{1}$ параллельно подсоединить любое число батареек $\cal{E}_{2}$ и ту же нагрузку, то сила тока через неё останется равной прежнему значению. Полярности всех батарей считать одинаковыми. Найдите сопротивление нагрузки $R$, а также внутреннее сопротивление $r_{2}$ батареек $\cal{E}_{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На рисунке 1 изображена схема цепи с последовательным соединением элементов. Запишем для неё закон Ома:
$I = \frac{ \cal{E}_{1} + n \cal{E}_{2}}{R + r_{1} + nr_{2}}$, (1)
где $I$ - ток нагрузки. При $n = 0$ из (1) получим
$I = \frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (2)
При очень больших $n$ из (1) следует:
$I = \frac{ n \cal{E}_{2}}{nr_{2}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{r_{2}}$. (3)
Поскольку ток нагрузки по условию не зависит от $n$, из (2) и (3) получаем:
$\frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{r_{2}}$ или $R + r_{1} = 2r_{2}$. (4)
Рассмотрим теперь цепь с параллельным соединением батареек, схема которой изображена на рисунке 2. Она эквивалентна цепи, изображённой на рисунке 3, где $I_{eq}$ - ток в эквивалентном источнике $\cal{E}_{2}$, а $r_{eq} = r_{2}/n$ - его внутреннее сопротивление. В этом можно убедиться, применив правила Киргофа для контура, состоящего из нагрузки $R$ и одной из батареек $\cal{E}_{2}$:
$I \left ( R + \frac{r}{n} \right ) = \cal{E}_{2}$, или $I(R + r_{eq}) = \cal{E}_{eq}$.
По первому правилу Киргофа
$I_{eq} = I - I_{1}$.
Второе правило Киргофа для внешнего контура схемы, показанной на рисунке 3, даёт:
$ \cal{E_{1}} = I_{1}r_{1} + IR$, откуда $I_{1} = \frac{\cal{E_{1}} – IR}{r_{1}}$.
При $n = 0$ ток $I_{eq} = 0$ и тогда
$I = I_{1} = \frac{ \cal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (5)
В случае бесконечного числа $n$ батареек $\cal{E}_{2}$ сопротивление $r_{eq} = 0$, а ток нагрузки принимает прежнее значение $I$. Поэтому второе правило Киргофа для контура $\cal{E}_{2} - R$ приводит к соотношению
$I = \frac{ \cal{E}_{2}}{R}$.
Из последнего уравнения и уравнения (5) найдём:
$\frac{ \cal{E}_{1}}{R+r_{1}} = \frac{ \cal{E}_{2}}{R}$, или $R + r_{1} = 2R$. (6)
Из (4) и (6) следует ответ: $R = r_{1}$ и $r_{2} = r_{1}$.
При решении данной задачи использован полезный метод эквивалентных схем. Группу соединённых друг с другом источников тока можно заменить одним эквивалентным источником. На практике используют батареи элементов. При последовательном соединении источников одинаковой полярности ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника равны сумме соответствующих величин для составляющих элементов. Параллельно соединяют одинаковые источники. Эквивалентная ЭДС в этом случае равна ЭДС отдельных элементов, зато внутреннее сопротивление эквивалентного источника меньше сопротивления одного элемента. При соединении п элементов внутреннее сопротивление полученной батареи в п раз меньше сопротивления отдельного элемента.
