ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Гиря массой $m = 500 г$ подвешена к спиральной пружине жесткостью $k = 20 Н/м$ и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний $\theta =0,004$. Определить число $N$ полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в $n=2$ раза. За какое время $t$ произойдет это уменьшение?


Решение:


Амплитуда затухающих колебаний: $A(t) = A_{0}e^{- \delta t}$

По условию, амплитуда уменьшается в $n$ раз:
$\Rightarrow \frac{A_{0} }{n} = A_{0}e^{ - \delta t} \Rightarrow 1 = e^{ - \delta t}n$

Для логарифмического декремента: $\theta = \delta T$, где период колебаний:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$

Для коэффициента затухания $\delta$ получаем:

$\delta = \frac{ \theta }{T} = \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } \Rightarrow e^{ - \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } t } n = 1$;
$e^{ - \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } t } = \frac{1}{n}; ln \left ( e^{ - \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } t } \right ) = ln \left ( \frac{1}{n} \right )$
$\Rightarrow - - \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } t = ln \frac{1}{n} \Rightarrow t = \frac{ln 1/n }{ - \frac{ \theta}{2 \pi} \sqrt{ \frac{k}{m} } }$
$t = \frac{ln 1/2 }{ - \frac{0,004}{2 \cdot 3,14} \sqrt{ \frac{20}{0,5} } } = 172,15 с$

Число колебаний $N: N = \frac{t}{T} = \frac{t}{2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } }$
$N = \frac{172,15}{ \sqrt{ 95/20 } \cdot 2 \cdot 3,14 } = 173,3$.