ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-15   
Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью $\Delta l = 0,1 мкм$. При какой относительной скорости $u$ двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина $l_{0}$ которого равна 1 м?


Решение:


$l = l_{0} \sqrt{1 - (v/c)^{2} } $
По условию $l_{0} - l = \Delta l \Rightarrow l = l_{0} - \Delta l$
$l_{0} - \Delta l = l_{0} \sqrt{1 - (v/c)^{2} }$

Возведем обе части равенства в квадрат:
$l_{0}^{2} -2l_{0} \Delta l + \Delta l^{2} = l_{0}^{2}(1 - (v/c)^{2} )$
$\Delta l^{2} -2l_{0} \Delta l = - \frac{l_{0}^{2}v^{2} }{c^{2} }$
$v = \sqrt{ \frac{c^{2}(2l_{0} \Delta l - \Delta l^{2} ) }{l_{0}^{2} } } = c \sqrt{ \frac{2 \Delta l}{l_{0} } - \frac{ \Delta l^{2} }{l_{0}^{2} } }$
Так как $\Delta l \ll l_{0}$, то $\frac{ \Delta l}{l_{0} } \gg \left ( \frac{ \Delta l}{l_{0} } \right )^{2}$ и можно записать $v \approx c \sqrt{ \frac{2 \Delta l}{l_{0} } }$
$v = 3 \cdot 10^{8} \sqrt{ \frac{2 \cdot 10^{-7} }{1} } = 1,34 \cdot 10^{5} м/с = 134 км/с$