Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 809
2016-09-04 
В электрической цепи, изображённой на рис., ЭДС источника $\cal{E} =10 В$. Звено $R_{2}-R_{3}$ повторяется 17 раз.
1. Найдите ток, текущий через резистор $R_{4}$, если $R_{1} = R_{3} = R_{4} = 3 Ом, R_{2} = 6 Ом$.
2. Анализ сложных электрических цепей можно упростить, если участок цепи, содержащий несколько источников и резисторов заменить одним эквивалентным источником с ЭДС $\cal{E}_{e}$ и внутренним сопротивлением $R_{e}$. Каким эквивалентным источником (укажите $\cal{E}_{e}$ и $R_{e}$) можно заменить участок $A - \cal{E} - B$ цепи, изображённой на рисунке?
3. В цепи, изображённой на рисунке, $R_{1} =3 Ом, R_{2} = 6 Ом, R_{3} = 1 Ом, R_{4} = 17 Ом$. Найдите ток через резистор $R_{4}$.
Решение:
Пусть $I$ - искомый ток через резистор $R_{4}$, а $I_{0}$ - ток, текущий через источник $\cal{E}$ (рис.1). Так как $R_{4} + R_{3} = R_{2}$, то токи на параллельно соединённых участках $C-R_{4}-D$ и $C-R_{2}-D$ одинаковы. Вследствие этого ток, покидающий узел $D$, равен $2I$. Сопротивления участков $E-R_{2}-F$ и $E-C-D-F$ также одинаковы, поэтому ток, покидающий узел $F$ вдвое больше тока $2I$, текущего по $D-F$. Аналогичная ситуация повторяется и далее: при приближении от $R_{4}$ к источнику $\cal{E}$ ток удваивается после каждого из 17 звеньев цепочки. Таким образом,
$I_{0} = 2^{17}I$. (1)
Сопротивление всей цепи, подключённой последовательно к $R_{1}$ равно $R_{2}/2$. По закону Ома
$I_{0} = \frac{ \cal{E}}{R_{1} + \frac{R_{2}}{2}}$. (2)
Из (1) и (2) получаем
$I = \frac{I_{0}}{2^{17}} = \frac{ \cal{E}}{ 2^{17} \left ( R_{1} + \frac{R_{2}}{2} \right )} = 1,3 \cdot 10^{-5} А$.
Во втором пункте пусть $R$ - сопротивление всего правого участка цепи, подключённого к точкам $A$ и $B$ (рис.). Для эквивалентного источника - это сопротивление нагрузки. По закону Ома ток $I$ нагрузки равен:
$I = \frac{ \cal{E}}{R + R_{e}}$. (3)
Получим формулу для тока нагрузки без модели эквивалентного источника. К реальному источнику $\cal{E}$ последовательно подсоединены резистор $R_{1}$ и параллельно соединённые участки, сопротивления которых равны $R_{2}$ и $R_{3} + R$. По правилам Киргофа:
$\cal{E} = I_{0}R_{1} + I(R_{3} + R)$,
$\cal{E} = I_{0}R_{1} + (I_{0}-I)R_{2}$.
Исключим из этой пары уравнений ток источника $I_{0}$:
$I = \frac{ \frac{ \cal{E}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}}{ R +R_{3} + \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}}$. (4)
Сравнивая (3) и (4), видим, что параметры эквивалентного источника таковы:
$\cal{E}_{e} = \frac{ \cal{E}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, R_{e} = R_{3} + \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} +R_{2}}$. (5)
Решение третьей части задачи существенно упрощается использованием рассмотренной в предыдущем пункте модели эквивалентного источника. Участок цепи, включающий источник $\cal{E}$, резистор $R_{1}$ и первое из 17 звеньев $R_{2} - R_{3}$, заменяем эквивалентным источником. Параметры его находим по формулам (5):
$\cal{E}_{e} = \frac{2}{3} \cal{E}, R_{e} = R_{1}$.
Введение рассмотренного эквивалентного источника приводит к следующим изменениям анализируемой цепи: ЭДС источника умножается на 2/3, резистор $R_{1}$ можно считать его внутренним сопротивлением. Зато подключённая к источнику цепочка резисторов уменьшается на одно звено. После 17 таких процедур получаем простую схему: источник, ЭДС которого $(2/3)^{17} \cal{E}$, последовательно соединён с резисторами $R_{1}$ и $R_{4}$. По закону Ома ток $I_{4}$ через резистор $R_{4}$ равен:
$I_{4} = \frac{(2/3)^{17} \cal{E}}{R_{1} + R_{4}} = 5,1 \cdot 10^{-4} А$.
В электрической цепи, изображённой на рис., ЭДС источника $\cal{E} =10 В$. Звено $R_{2}-R_{3}$ повторяется 17 раз.
1. Найдите ток, текущий через резистор $R_{4}$, если $R_{1} = R_{3} = R_{4} = 3 Ом, R_{2} = 6 Ом$.
2. Анализ сложных электрических цепей можно упростить, если участок цепи, содержащий несколько источников и резисторов заменить одним эквивалентным источником с ЭДС $\cal{E}_{e}$ и внутренним сопротивлением $R_{e}$. Каким эквивалентным источником (укажите $\cal{E}_{e}$ и $R_{e}$) можно заменить участок $A - \cal{E} - B$ цепи, изображённой на рисунке?
3. В цепи, изображённой на рисунке, $R_{1} =3 Ом, R_{2} = 6 Ом, R_{3} = 1 Ом, R_{4} = 17 Ом$. Найдите ток через резистор $R_{4}$.
Решение:
Пусть $I$ - искомый ток через резистор $R_{4}$, а $I_{0}$ - ток, текущий через источник $\cal{E}$ (рис.1). Так как $R_{4} + R_{3} = R_{2}$, то токи на параллельно соединённых участках $C-R_{4}-D$ и $C-R_{2}-D$ одинаковы. Вследствие этого ток, покидающий узел $D$, равен $2I$. Сопротивления участков $E-R_{2}-F$ и $E-C-D-F$ также одинаковы, поэтому ток, покидающий узел $F$ вдвое больше тока $2I$, текущего по $D-F$. Аналогичная ситуация повторяется и далее: при приближении от $R_{4}$ к источнику $\cal{E}$ ток удваивается после каждого из 17 звеньев цепочки. Таким образом,
$I_{0} = 2^{17}I$. (1)
Сопротивление всей цепи, подключённой последовательно к $R_{1}$ равно $R_{2}/2$. По закону Ома
$I_{0} = \frac{ \cal{E}}{R_{1} + \frac{R_{2}}{2}}$. (2)
Из (1) и (2) получаем
$I = \frac{I_{0}}{2^{17}} = \frac{ \cal{E}}{ 2^{17} \left ( R_{1} + \frac{R_{2}}{2} \right )} = 1,3 \cdot 10^{-5} А$.
Во втором пункте пусть $R$ - сопротивление всего правого участка цепи, подключённого к точкам $A$ и $B$ (рис.). Для эквивалентного источника - это сопротивление нагрузки. По закону Ома ток $I$ нагрузки равен:
$I = \frac{ \cal{E}}{R + R_{e}}$. (3)
Получим формулу для тока нагрузки без модели эквивалентного источника. К реальному источнику $\cal{E}$ последовательно подсоединены резистор $R_{1}$ и параллельно соединённые участки, сопротивления которых равны $R_{2}$ и $R_{3} + R$. По правилам Киргофа:
$\cal{E} = I_{0}R_{1} + I(R_{3} + R)$,
$\cal{E} = I_{0}R_{1} + (I_{0}-I)R_{2}$.
Исключим из этой пары уравнений ток источника $I_{0}$:
$I = \frac{ \frac{ \cal{E}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}}{ R +R_{3} + \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}}$. (4)
Сравнивая (3) и (4), видим, что параметры эквивалентного источника таковы:
$\cal{E}_{e} = \frac{ \cal{E}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, R_{e} = R_{3} + \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} +R_{2}}$. (5)
Решение третьей части задачи существенно упрощается использованием рассмотренной в предыдущем пункте модели эквивалентного источника. Участок цепи, включающий источник $\cal{E}$, резистор $R_{1}$ и первое из 17 звеньев $R_{2} - R_{3}$, заменяем эквивалентным источником. Параметры его находим по формулам (5):
$\cal{E}_{e} = \frac{2}{3} \cal{E}, R_{e} = R_{1}$.
Введение рассмотренного эквивалентного источника приводит к следующим изменениям анализируемой цепи: ЭДС источника умножается на 2/3, резистор $R_{1}$ можно считать его внутренним сопротивлением. Зато подключённая к источнику цепочка резисторов уменьшается на одно звено. После 17 таких процедур получаем простую схему: источник, ЭДС которого $(2/3)^{17} \cal{E}$, последовательно соединён с резисторами $R_{1}$ и $R_{4}$. По закону Ома ток $I_{4}$ через резистор $R_{4}$ равен:
$I_{4} = \frac{(2/3)^{17} \cal{E}}{R_{1} + R_{4}} = 5,1 \cdot 10^{-4} А$.
