Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8086
2018-06-15 
Однородный тонкий стержень массой $m_{1} =0,2 кг$ и длиной $l = 1 м$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис.). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью $v = 10 м/с$ и прилипает к стержню. Масса $m_{2}$ шарика равна 10 г. Определить угловую скорость со стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками A и О: 1) $l/2$; 2) $l/3$; 3) $l/4$.
Решение:
Момент инерции стежня относительно центра его массы:
$J_{ц} = \frac{m_{1}L^{2} }{12}$
Момент инерции стежня относительно оси z:
$J = J_{ц} + m_{1} \left ( \frac{L}{2} - a \right )^{2}$
$J= \frac{1}{3} m_{1} (L^{2} - 3La + 3a^{2})$
Закон сохранения момента импульса относительно оси z при ударе:
$m_{2}va + 0 = m_{2}a^{2} \omega + J \omega$
$m_{2}va + 0 = (m_{2}a^{2} + J) \omega$
$\omega = \frac{m_{2}va }{m_{2}a^{2} + J } = \frac{m_{2}va}{m_{2}a^{2} + \frac{1}{3}m_{1}(L^{2} - 3La + 3a^{2} ) }$
$\omega(a) = 3m_{2}v \frac{a}{3m_{2}a^{2} + m_{1}L^{2} - 3m_{1} La + 3m_{1}a^{2} }$
$\omega \left ( \frac{L}{2} \right ) = 6m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{2} \right ) = 2,609 рад/с$
$\omega \left ( \frac{L}{3} \right ) = 3m_{2} \frac{v}{L(m_{2} + m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{3} \right ) = 1,429 рад/с$
$\omega \left ( \frac{L}{4} \right ) = 12m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + 7m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{4} \right ) = 0,839 рад/с$
Скорость нижнего конца стержня:
$u = \omega (L - a)$
$u(a) = 3m_{2}v \frac{a(L - a)}{3m_{2}a^{2} + m_{1}L^{2} - 3m_{1}La + 3m_{1}a^{2} }$
$u \left ( \frac{L}{2} \right ) = 6m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{2} \right ) = 1,304 рад/с$
$u \left ( \frac{L}{3} \right ) = 3m_{2} \frac{v}{L(m_{2} + m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{3} \right ) = 0,952 рад/с$
$u \left ( \frac{L}{4} \right ) = 9m_{2} \frac{v}{3m_{2} + 7m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{4} \right ) = 0,629 рад/с$
Однородный тонкий стержень массой $m_{1} =0,2 кг$ и длиной $l = 1 м$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис.). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью $v = 10 м/с$ и прилипает к стержню. Масса $m_{2}$ шарика равна 10 г. Определить угловую скорость со стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками A и О: 1) $l/2$; 2) $l/3$; 3) $l/4$.
Решение:
Момент инерции стежня относительно центра его массы:
$J_{ц} = \frac{m_{1}L^{2} }{12}$
Момент инерции стежня относительно оси z:
$J = J_{ц} + m_{1} \left ( \frac{L}{2} - a \right )^{2}$
$J= \frac{1}{3} m_{1} (L^{2} - 3La + 3a^{2})$
Закон сохранения момента импульса относительно оси z при ударе:
$m_{2}va + 0 = m_{2}a^{2} \omega + J \omega$
$m_{2}va + 0 = (m_{2}a^{2} + J) \omega$
$\omega = \frac{m_{2}va }{m_{2}a^{2} + J } = \frac{m_{2}va}{m_{2}a^{2} + \frac{1}{3}m_{1}(L^{2} - 3La + 3a^{2} ) }$
$\omega(a) = 3m_{2}v \frac{a}{3m_{2}a^{2} + m_{1}L^{2} - 3m_{1} La + 3m_{1}a^{2} }$
$\omega \left ( \frac{L}{2} \right ) = 6m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{2} \right ) = 2,609 рад/с$
$\omega \left ( \frac{L}{3} \right ) = 3m_{2} \frac{v}{L(m_{2} + m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{3} \right ) = 1,429 рад/с$
$\omega \left ( \frac{L}{4} \right ) = 12m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + 7m_{1}) } \omega \left ( \frac{L}{4} \right ) = 0,839 рад/с$
Скорость нижнего конца стержня:
$u = \omega (L - a)$
$u(a) = 3m_{2}v \frac{a(L - a)}{3m_{2}a^{2} + m_{1}L^{2} - 3m_{1}La + 3m_{1}a^{2} }$
$u \left ( \frac{L}{2} \right ) = 6m_{2} \frac{v}{L(3m_{2} + m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{2} \right ) = 1,304 рад/с$
$u \left ( \frac{L}{3} \right ) = 3m_{2} \frac{v}{L(m_{2} + m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{3} \right ) = 0,952 рад/с$
$u \left ( \frac{L}{4} \right ) = 9m_{2} \frac{v}{3m_{2} + 7m_{1} ) } u \left ( \frac{L}{4} \right ) = 0,629 рад/с$
