Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 808
2016-09-04 
Из однородной проволоки диаметром $d$ изготовлен правильный треугольник со стороной $L \gg d$. Середины сторон треугольника соединили той же проволокой, затем соединили середины сторон получившегося треугольника, и так далее (рис.). Найдите сопротивление получившейся проволочной сетки между точками $A$ и $B$. Оцените точность полученного результата. Удельное сопротивление проволоки равно $\rho$.
Решение:
рис.1
рис.2
Все вложенные треугольники правильные, проводники однородные, поэтому узлы цепи, лежащие на высоте $CD$ (рис. 1) имеют одинаковые потенциалы, если напряжение подано на точки $A$ и $B$. Поэтому данную схему можно заменить более простой (рис. 2). которая эквивалентна данной. Сопротивление цепи внутри треугольника, опирающегося на $A_{1}B_{1}$, очевидно, в два раза меньше сопротивления всей цепи. Сопротивление цепи внутри следующего вложенного треугольника ещё в два раза меньше, и так далее. Обозначим через
$r = \frac{4 \rho L}{ \pi d^{2}}$ (1)
сопротивление отрезка $AB$, а через $R$ - искомое сопротивление всей цепи. Тогда сопротивление $R$ можно представить в виде
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{ r + \frac{Rr}{R + 2r}}$ (2)
Получилось квадратное уравнение относительно искомой величины $R$:
$3R^{2} + 2Rr - 2r^{2}= 0$.
Положительный корень этого уравнения и даёт ответ задачи:
$R = \frac{\sqrt{7} -1}{3}r \approx 0,55r$. (3)
Точность полученного результата ограничена использованными приближениями. Из-за паек в углах треугольников длина проволоки $L$ несколько отличается от стороны треугольника. Относительная погрешность величины $r(1)$ по порядку величины равна $d/L$. Кроме того, процесс последовательного вложения треугольников не может быть бесконечным, поскольку минимальная длина стороны треугольника не может стать меньше $d$. Максимально возможное число вложений $N$ нетрудно подсчитать:
$\frac{L}{d} = 2^{N}$, откуда $N = \frac{ln(L/d)}{ln 2} \gg 1$. (4)
Чтобы оценить погрешность найденного результата для конечного числа вложенных треугольников, запишем аналогично (2) соотношение, связывающее сопротивление $R_{n+1}$ цепочки $(n + 1)$ треугольников с сопротивлением $R_{n}$ цепочки из $n$ таких треугольников.
$\frac{1}{R_{n+1}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r + \frac{R_{n}r}{R_{n}+2r}} = \frac{3R_{n} + 4r}{2r(R_{n} + r)}$. (5)
Из формулы (5) путём дифференцирования и замены $R_{n} \approx R \approx 0,55r$ получим:
$\frac{ \Delta R_{n+1}}{ \Delta R_{n}} \approx 0,06$.
Это означает, что увеличение на единицу числа вложенных треугольников при больших $n$ уменьшает погрешность результата приблизительно в 10 раз. Если максимальное число вложенных треугольников равно $N (4)$, то минимальная погрешность результата в $10^{N}$ раз меньше, чем при $n = 1$. Следовательно погрешность, связанная с конечностью схемы
$\frac{ \Delta R_{N}} {R} = \frac{ \Delta R_{1}}{R} 10^{-N} = \frac{ \frac{2}{3}r – 0,55r}{0,55r} 10^{-N} \sim \left ( \frac{d}{L} \right )^{1/lg 2}$, (6)
где последний вложенный треугольник вместо идеального сопротивления $R$ имеет сопротивление $2r/3$. Поскольку $lg 2 < 1$, то относительная погрешность (6) меньше погрешности пайки $d/L$. Итак, относительная погрешность результата (3) приблизительно равна $d/L$.
Из однородной проволоки диаметром $d$ изготовлен правильный треугольник со стороной $L \gg d$. Середины сторон треугольника соединили той же проволокой, затем соединили середины сторон получившегося треугольника, и так далее (рис.). Найдите сопротивление получившейся проволочной сетки между точками $A$ и $B$. Оцените точность полученного результата. Удельное сопротивление проволоки равно $\rho$.
Решение:
рис.1
рис.2
Все вложенные треугольники правильные, проводники однородные, поэтому узлы цепи, лежащие на высоте $CD$ (рис. 1) имеют одинаковые потенциалы, если напряжение подано на точки $A$ и $B$. Поэтому данную схему можно заменить более простой (рис. 2). которая эквивалентна данной. Сопротивление цепи внутри треугольника, опирающегося на $A_{1}B_{1}$, очевидно, в два раза меньше сопротивления всей цепи. Сопротивление цепи внутри следующего вложенного треугольника ещё в два раза меньше, и так далее. Обозначим через
$r = \frac{4 \rho L}{ \pi d^{2}}$ (1)
сопротивление отрезка $AB$, а через $R$ - искомое сопротивление всей цепи. Тогда сопротивление $R$ можно представить в виде
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{ r + \frac{Rr}{R + 2r}}$ (2)
Получилось квадратное уравнение относительно искомой величины $R$:
$3R^{2} + 2Rr - 2r^{2}= 0$.
Положительный корень этого уравнения и даёт ответ задачи:
$R = \frac{\sqrt{7} -1}{3}r \approx 0,55r$. (3)
Точность полученного результата ограничена использованными приближениями. Из-за паек в углах треугольников длина проволоки $L$ несколько отличается от стороны треугольника. Относительная погрешность величины $r(1)$ по порядку величины равна $d/L$. Кроме того, процесс последовательного вложения треугольников не может быть бесконечным, поскольку минимальная длина стороны треугольника не может стать меньше $d$. Максимально возможное число вложений $N$ нетрудно подсчитать:
$\frac{L}{d} = 2^{N}$, откуда $N = \frac{ln(L/d)}{ln 2} \gg 1$. (4)
Чтобы оценить погрешность найденного результата для конечного числа вложенных треугольников, запишем аналогично (2) соотношение, связывающее сопротивление $R_{n+1}$ цепочки $(n + 1)$ треугольников с сопротивлением $R_{n}$ цепочки из $n$ таких треугольников.
$\frac{1}{R_{n+1}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r + \frac{R_{n}r}{R_{n}+2r}} = \frac{3R_{n} + 4r}{2r(R_{n} + r)}$. (5)
Из формулы (5) путём дифференцирования и замены $R_{n} \approx R \approx 0,55r$ получим:
$\frac{ \Delta R_{n+1}}{ \Delta R_{n}} \approx 0,06$.
Это означает, что увеличение на единицу числа вложенных треугольников при больших $n$ уменьшает погрешность результата приблизительно в 10 раз. Если максимальное число вложенных треугольников равно $N (4)$, то минимальная погрешность результата в $10^{N}$ раз меньше, чем при $n = 1$. Следовательно погрешность, связанная с конечностью схемы
$\frac{ \Delta R_{N}} {R} = \frac{ \Delta R_{1}}{R} 10^{-N} = \frac{ \frac{2}{3}r – 0,55r}{0,55r} 10^{-N} \sim \left ( \frac{d}{L} \right )^{1/lg 2}$, (6)
где последний вложенный треугольник вместо идеального сопротивления $R$ имеет сопротивление $2r/3$. Поскольку $lg 2 < 1$, то относительная погрешность (6) меньше погрешности пайки $d/L$. Итак, относительная погрешность результата (3) приблизительно равна $d/L$.
