Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8079
2018-06-15 
В однородном диске массой $m = 1 кг$ и радиусом $r = 30 см$ вырезано круглое отверстие диаметром $d = 20 см$, центр которого находится на расстоянии $l = 15 см$ от оси диска (рис.). Найти момент инерции $J$ полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
Решение:
Пусть $\rho$ - плотность материала диска $h$ - толщина диска, тогда
$\begin{cases} m = \rho \pi r^{2} h \\ m_{выр} = \rho \pi \frac{d^{2} }{4} h \end{cases} \Rightarrow \frac{m_{выр} }{m} = \frac{ \rho \pi d^{2} h }{4 \rho \pi r^{2} h } = \frac{d^{2} }{4 r^{2} } \Rightarrow m_{выр} = \frac{md^{2} }{4r^{2} }$
$J = J_{диск} - J_{выр}$ (1)
$J_{диск} = \frac{1}{2} mr^{2}$ (2)
По теореме Штейнера $J_{выр} = \frac{1}{2}m_{выр} \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} + m_{выр} l^{2} = m_{выр} \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right ) = \frac{md^{2} }{4 r^{2} } \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right )$ (3)
Подставим (2) и (3) в (1):
$J = \frac{1}{2}mr^{2} - \frac{md^{2} }{4 r^{2} } \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right ) = \frac{1}{2} mr^{2} - \frac{md^{2} }{32r^{2} } (d^{2} + 8l^{2} )$
$J = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0,3^{2} - \frac{1 \cdot 0,2^{2} }{32 \cdot 0,3^{2} } ( 0,2^{2} + 8 \cdot 0,15^{2} ) = 0,042 кг \cdot м^{2}$
В однородном диске массой $m = 1 кг$ и радиусом $r = 30 см$ вырезано круглое отверстие диаметром $d = 20 см$, центр которого находится на расстоянии $l = 15 см$ от оси диска (рис.). Найти момент инерции $J$ полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
Решение:
Пусть $\rho$ - плотность материала диска $h$ - толщина диска, тогда
$\begin{cases} m = \rho \pi r^{2} h \\ m_{выр} = \rho \pi \frac{d^{2} }{4} h \end{cases} \Rightarrow \frac{m_{выр} }{m} = \frac{ \rho \pi d^{2} h }{4 \rho \pi r^{2} h } = \frac{d^{2} }{4 r^{2} } \Rightarrow m_{выр} = \frac{md^{2} }{4r^{2} }$
$J = J_{диск} - J_{выр}$ (1)
$J_{диск} = \frac{1}{2} mr^{2}$ (2)
По теореме Штейнера $J_{выр} = \frac{1}{2}m_{выр} \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} + m_{выр} l^{2} = m_{выр} \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right ) = \frac{md^{2} }{4 r^{2} } \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right )$ (3)
Подставим (2) и (3) в (1):
$J = \frac{1}{2}mr^{2} - \frac{md^{2} }{4 r^{2} } \left ( \frac{d^{2} }{8} + l^{2} \right ) = \frac{1}{2} mr^{2} - \frac{md^{2} }{32r^{2} } (d^{2} + 8l^{2} )$
$J = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0,3^{2} - \frac{1 \cdot 0,2^{2} }{32 \cdot 0,3^{2} } ( 0,2^{2} + 8 \cdot 0,15^{2} ) = 0,042 кг \cdot м^{2}$
