ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-08   
С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой $m = 100 кг$. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени $\Delta t$ ускорение $a$ груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления $k = 10 кг/с$.


Решение:


Воспользуемся II законом Ньютона

$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{F}_{сопр}$

С учетом направления сил по оси Oy

$ma = mg - F_{сопр}$
$F_{сопр} = kv$

В дифференциальной форме:

$m \frac{dv}{dt} = mg - kv$

Решив это уравнение, получаем

$t = \frac{m}{k} ln \left ( \frac{mg}{mg - \frac{kv}{2} } \right )$ (1)

Поскольку сумма сил в момент падения равна 0

$mg - kv = 0$
$v_{пад} = \frac{mg}{k}$ (2)

Подставив формулу 2 в 1, получаем

$t = \frac{m}{k} ln \left ( \frac{mg}{mg - \frac{mgk}{2k}} \right ) = \frac{m}{k} ln \left ( \frac{mg}{ \frac{1}{2} mg} \right ) = \frac{m}{k} ln 2$
$t = \frac{m}{k} ln 2$
$t = \frac{100 кг}{10 кг/с} ln 2 = 6,93 с$