ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-06-08   
Точка движется по окружности радиусом $R = 2 м$ согласно уравнению $\xi = At^{3}$, где $A = 2 м/с^{3}$. В какой момент времени $t$ нормальное ускорение $a_{n}$ точки будет равно тангенциальному $a_{ \tau}$? Определить полное ускорение $a$ в этот момент.


Решение:


Нормальное ускорение точки

$a_{n} = \frac{V^{2} }{R}$
$a_{n} = \frac{ \left ( \frac{d}{dt} s(t) \right )^{2} }{R}$
$a_{n} = \frac{(3At^{2} )^{2} }{R}$ (1)

Тангенцальное ускорение точки

$a_{ \tau} = \frac{d^{2} }{dt^{2} } s(t)$
$a_{ \tau} = ^At$ (2)

Ускорения равны:

$a_{n} = a_{ \tau}$
$\frac{(3At^{2} )^{2} }{R} = 6At$
$\frac{9At^{2} }{R} = 6$
$t = \sqrt[3]{ \frac{2R}{3A} }$ (3)
$t = 0,874 с$

Полное ускорение точки:

$a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2} }$
$a = \sqrt{2} a_{ \tau}$
$a = \sqrt{2} \cdot 6 \cdot At$ (4)
$a = 14,825 м/с^{2}$

Угловая скорость точки точки:

$\omega = \frac{1}{R} \frac{d}{dt}s(t)$
$\omega = \frac{3At^{2} }{R}$ (5)
$\omega = 2,289 рад/с$

Угловое ускорение

$\epsilon = \frac{a_{ \tau} }{R}$
$\epsilon = \frac{6At}{t}$ (6)
$\epsilon = 5,241 рад/с^{2}$