Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8038
2018-06-06 
Проводящие полушария радиуса $R$ имеют зазор $d$ между плоскими торцами ($d$ много меньше $R$). Начальные заряды их $q_{1}$ и $q_{2}$. Полушария замыкают на время, за которое через ключ проходит заряд $q$. Какое тепло при этом выделится? Какое тепло выделится, если ключ оставляют замкнутым на очень большое время? Зарядом на замыкающей цепи пренебречь.
Решение:
$C = \epsilon_{0} \pi R^{2}/d; Q = \frac{ (q_{1} - q_{2})^{2} - (q_{1} – q_{2} - 2q)^{2}}{8C} = \frac{q(q_{1} – q_{2}) – q^{2}}{2C}; Q_{max} = \frac{ (q_{1} – q_{2})^{2}}{8C}$.
Заряд находится на поверхности проводников – внутри них поле отсутствует. Этому требованию удовлетворяет распределение заряда, когда на обращенных друг к другу плоских поверхностях заряды $\pm \frac{1}{2} (q_{1} - q_{2} )$, а на внешней поверхности однородно распределен оставшийся заряд, $\frac{1}{2}(q_{1} + q_{2} )$ на каждой полусфере. Замыкание цепи не меняет суммы зарядов. Заряды на образующих плоский конденсатор границах зазора станут $\pm \frac{1}{2} (q_{1} + q_{2} - 2q )$. Изменится только электрическое поле внутри этого конденсатора. Его энергия уменьшится на $W = \frac{1}{8C} (q_{1} - q_{2} )^{2} - \frac{1}{8C} (q_{1} - q_{2} - 2q )^{2}$, где ёмкость конденсатора $C = \epsilon_{0} \pi R^{2} / d$. Искомое тепло и равно $W = \frac{q(q_{1} - q_{2} - q ) }{2C} = q(q_{1} - q_{2} - q ) \frac{d}{2 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$. За достаточно большое время конденсатор разрядится и конечный заряд будет нулевым, при этом будет максимальное выделение тепла $W_{max} = \frac{(q_{1} - q_{2} )^{2} }{8C} = (q_{1} - q_{2} )^{2} \frac{d}{8 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
Проводящие полушария радиуса $R$ имеют зазор $d$ между плоскими торцами ($d$ много меньше $R$). Начальные заряды их $q_{1}$ и $q_{2}$. Полушария замыкают на время, за которое через ключ проходит заряд $q$. Какое тепло при этом выделится? Какое тепло выделится, если ключ оставляют замкнутым на очень большое время? Зарядом на замыкающей цепи пренебречь.
Решение:
$C = \epsilon_{0} \pi R^{2}/d; Q = \frac{ (q_{1} - q_{2})^{2} - (q_{1} – q_{2} - 2q)^{2}}{8C} = \frac{q(q_{1} – q_{2}) – q^{2}}{2C}; Q_{max} = \frac{ (q_{1} – q_{2})^{2}}{8C}$.
Заряд находится на поверхности проводников – внутри них поле отсутствует. Этому требованию удовлетворяет распределение заряда, когда на обращенных друг к другу плоских поверхностях заряды $\pm \frac{1}{2} (q_{1} - q_{2} )$, а на внешней поверхности однородно распределен оставшийся заряд, $\frac{1}{2}(q_{1} + q_{2} )$ на каждой полусфере. Замыкание цепи не меняет суммы зарядов. Заряды на образующих плоский конденсатор границах зазора станут $\pm \frac{1}{2} (q_{1} + q_{2} - 2q )$. Изменится только электрическое поле внутри этого конденсатора. Его энергия уменьшится на $W = \frac{1}{8C} (q_{1} - q_{2} )^{2} - \frac{1}{8C} (q_{1} - q_{2} - 2q )^{2}$, где ёмкость конденсатора $C = \epsilon_{0} \pi R^{2} / d$. Искомое тепло и равно $W = \frac{q(q_{1} - q_{2} - q ) }{2C} = q(q_{1} - q_{2} - q ) \frac{d}{2 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$. За достаточно большое время конденсатор разрядится и конечный заряд будет нулевым, при этом будет максимальное выделение тепла $W_{max} = \frac{(q_{1} - q_{2} )^{2} }{8C} = (q_{1} - q_{2} )^{2} \frac{d}{8 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
