Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8037
2018-06-06 
Нить с точечным грузом массы $m$ на конце привязана к столбу радиуса $R$ и наматывается на него. В некоторый момент длина прямолинейного натянутого участка $L$, а скорость груза $V$. Каким будет натяжение нити, когда половина её $(L/2)$ намотается на столб? Через какое время это произойдет? Никаких сил кроме натяжения нити на груз не действует.
Решение:
Из нерастяжимости нити (скорость нити в точке касания со столбом нулевая) следует перпендикулярность скорости и нити. Натяжение направлено вдоль нити и перпендикулярно скорости, то есть величина скорости $V$ не меняется. Угол поворота нити за малое время $dt$ $d \phi = V dt/x$, где $x$ оставшаяся длина не намотанной части. Вектор скорости $V$ повернётся на тот же угол и тогда поперечное (центростремительное ускорение) $a = V d \phi/dt = V^{2}/x$. Ускорение направлено вдоль нити и её натяжение $T = \frac{mV^{2} }{x}, x = \frac{L}{2} T = 2mV^{2}/L$.
Для нахождения искомого времени намотки до длины $L/2$ рассмотрим малое сокращение длины хвоста от $x_{1}$ до $x_{2}$ за малое время $dt$. При повороте на $d \phi$ длина «хвоста» сократится на $Rd \phi$, а угол поворота $d \phi = Vdt/x_{ср}$, где $x_{ср} = (x_{1} + x_{2})/2$ средняя длина «хвоста». $x_{1} – x_{2} = Rd \phi = RVdt/x_{ср}$, откуда $dt = ( x_{1}^{2} - x_{2}^{2})/2RV$, а суммарное время $t = (x_{нач}^{2} - x_{кон}^{2} )/2RV = 3L^{2}/8RV$.
Нить с точечным грузом массы $m$ на конце привязана к столбу радиуса $R$ и наматывается на него. В некоторый момент длина прямолинейного натянутого участка $L$, а скорость груза $V$. Каким будет натяжение нити, когда половина её $(L/2)$ намотается на столб? Через какое время это произойдет? Никаких сил кроме натяжения нити на груз не действует.
Решение:
Из нерастяжимости нити (скорость нити в точке касания со столбом нулевая) следует перпендикулярность скорости и нити. Натяжение направлено вдоль нити и перпендикулярно скорости, то есть величина скорости $V$ не меняется. Угол поворота нити за малое время $dt$ $d \phi = V dt/x$, где $x$ оставшаяся длина не намотанной части. Вектор скорости $V$ повернётся на тот же угол и тогда поперечное (центростремительное ускорение) $a = V d \phi/dt = V^{2}/x$. Ускорение направлено вдоль нити и её натяжение $T = \frac{mV^{2} }{x}, x = \frac{L}{2} T = 2mV^{2}/L$.
Для нахождения искомого времени намотки до длины $L/2$ рассмотрим малое сокращение длины хвоста от $x_{1}$ до $x_{2}$ за малое время $dt$. При повороте на $d \phi$ длина «хвоста» сократится на $Rd \phi$, а угол поворота $d \phi = Vdt/x_{ср}$, где $x_{ср} = (x_{1} + x_{2})/2$ средняя длина «хвоста». $x_{1} – x_{2} = Rd \phi = RVdt/x_{ср}$, откуда $dt = ( x_{1}^{2} - x_{2}^{2})/2RV$, а суммарное время $t = (x_{нач}^{2} - x_{кон}^{2} )/2RV = 3L^{2}/8RV$.
