Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 803
2016-09-04 
С точки зрения квантовой физики электромагнитное излучение представляет собой множество хаотически движущихся и невзаимодействующих друг с другом частиц - фотонов. Другими словами, электромагнитное излучение представляет собой фотонный газ, который во многом аналогичен идеальному газу, рассматриваемому в молекулярно-кинетической теории. Есть и существенные отличия. Все фотоны движутся с одинаковой скоростью (скоростью света в вакууме), и их число не остаётся постоянным при изменении состояния: фотоны рождаются и поглощаются. Тем не менее, ряд свойств фотонного газа можно установить, опираясь на молекулярно-кинетическую теорию идеальных газов, что и предлагается проделать в данной задаче.
1. Докажите, что давление $P$, оказываемое частицами идеального газа на плоскую поверхность, определяется формулой
$P= \frac{1}{3} n < \vec{v} \cdot \vec{p} >$, (1)
где $n$ - число частиц в единице объёма, $\vec{v}$ - скорость частиц, $ \vec{p}$ - их импульс, $< \vec{v} \cdot \vec{p}>$ - среднее значение скалярного произведения $ \vec{v} \cdot \vec{p}$.
2. Используя формулу для давления частиц идеального газа (1), докажите, что давление света $P$ можно вычислить по формуле
$P = \frac{1}{3} u$, (2)
где $u$ - объёмная плотность энергии излучения.
3. Докажите, рассматривая цикл Карно для фотонного газа при малых изменениях температуры и объёма, что световое давление пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры.
4. Используя результаты предыдущего пункта, получите закон Стефана-Больцмана для мощности излучения абсолютно чёрного тела с единицы поверхности:
$W= \sigma T^{4}$,
где $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана, а $T$ - абсолютная температура. Получите соотношение между $\sigma$ и коэффициентом пропорциональности между давлением и четвёртой степенью температуры. При выводе учтите, что число частиц газа, соударяющихся с единицей поверхности стенки в единицу времени, равно $ \nu = \frac{1}{4} n < v > $,
где $n$ - число частиц в единице объёма, а $ < v > $ - средний модуль скорости частиц.
5. Вычислите КПД цикла, совершаемого над фотонным газом. Цикл состоит из четырёх последовательных процессов:
1) изобарическое расширение из состояния с температурой $T_{1}$,
2) переход в состояние с температурой $T_{2}$ по закону $PV^{4/3} = const$,
3) изобарическое сжатие,
4) переход в исходное состояние снова по закону $pv^{4/3} = const$.
Решение:
рис.1
рис.2
Давление газа обусловлено ударами его частиц о стенки сосуда. Величина давления равна средней силе, действующей на единицу площади стенки. Найдём среднюю силу $F_{i}$, с которой действуют на стенку частицы, имеющие скорость $\vec{v}_{i}$ и импульс $\vec{p}_{i}$, направленные под углом $\alpha_{i}$ к нормали стенки. Для этого применим закон изменения импульса, считая удар частиц упругим. За время $\Delta t$ о единичную площадку стенки ударятся $N_{i} = n_{i}v_{i} \cos \alpha_{i} \Delta t$ таких частиц, где $n_{i}$ - их число в единице объёма:
$2 N_{i}p_{i} \cos \alpha_{i} = 2n_{i}v_{i} \cos \alpha_{i} p_{i} \cos \alpha_{i} = F_{i} \Delta t$.
Давление газа $P$ равно:
$P = < F_{i} > = 2 < n_{i}v_{ix}p_{ix} > = 2 < v_{ix}p_{ix} > \frac{1}{2}n$, (1)
где ось $x$ перпендикулярна к стенке. Множитель $1/2$ поставлен потому, что лишь половина частиц, имеющих одно и то же значение $\vec{v}_{i} \vec{p}_{i}$, движется к стенке, а другая - в противоположном направлении. Из-за хаотичности движения частиц
$< p_{i} \cos \alpha_{i} \cdot v_{i} \cos \alpha_{i} > = < v_{ix}p_{ix} > = \frac{1}{3} < v_{ix}p_{ix} + v_{iy}p_{iy} + v_{iz}p_{iz} > = \frac{1}{3} < \vec{v} \cdot \vec{p} >$.
Подставляя это в формулу (1), получим:
$P = \frac{1}{3} n < \vec{v} \cdot \vec{p} > $.
Ответ на второй пункт задачи просто следует из полученной формулы, если принять во внимание, что масса фотона равна нулю, и поэтому его энергия $E = pc$, где $c$ - скорость света, то есть скорость фотонов $v = c$:
$P = \frac{1}{3} nE = \frac{1}{3}u$, (2)
где $u = nE$ - энергия единицы объёма фотонного газа.
Рассматриваемый в третьем пункте цикл Карно изображён на рисунке 1. Давление фотонного газа отличается от плотности энергии излучения только множителем 1/3 в формуле (2), а плотность энергии не зависит от объёма подобно тому, как масса единицы объёма не зависит от объёма всего тела. Поэтому давление газа фотонов не зависит от объёма, а определяется только температурой. Таким образом, изотермы 1-2 и 3-4 совпадают с изобарами, что отражено на рисунке 77. Вследствие малости $dT$ и $dP$ график рассматриваемого цикла можно приближённо считать параллелограммом. Тогда его «площадь» равна $dP \cdot dT$, и получаем следующую формулу для КПД цикла:
$\eta = \frac{dT}{T} = \frac{ \delta A}{ \delta Q} = \frac{ dP \cdot dV}{ \delta Q}$. (3)
Количество теплоты $\delta Q$, сообщаемое фотонному газу при изотермическом расширении, выразим из первого начала термодинамики:
$\delta Q = dU + PdV = udV + PdV = 4PdV$.
Подставим последнее выражение в (3):
$\frac{dT}{T} = \frac{dP \cdot dV}{4 P dV}$.
Путём интегрирования находим
$P = aT^{4}$, (4)
где $a$ - некоторая постоянная величина.
В четвёртом пункте требуется, используя (4), получить выражение для мощности $W$ излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела. Для этого нужно сложить энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени единицей площади поверхности:
$W = \sum \nu_{i}E_{i}$,
где $E_{i}$ - энергия фотонов $i$-го сорта, а $\nu_{i}$ - их число, излучаемое в единицу времени единичной площадкой. Из условия известно, что
$\nu_{i} = \frac{1}{4} n_{i} < v_{i} >$,
где $n_{i}$ - число фотонов $i$-го сорта в единице объёма, а $< v_{i} > = c$ - скорость движения фотонов. Используя выражение для $\nu_{i}$, а также формулу (4) получим закон Стефана-Больцмана:
$W = \frac{1}{4} \sum n_{i}cE_{i} = \frac{c}{4}u = \frac{c}{4}3P = \frac{3}{4} caT^{4} = \sigma T^{4}$,
где $\sigma = 3 ca/4$. Таким образом, постоянная Стефана-Больцмана отличается от коэффициента пропорциональности $a$, входящего в формулу (4), лишь множителем $3c/4$.
Часто в литературе в формуле
$\nu = \frac{1}{4} n < v >$,
вместо 1/4 пишут множитель 1/6. Такой результат получается в более грубой модели, в которой рассматривается движение частиц только в трёх взаимно перпендикулярных направлениях.
В последнем пункте требуется найти КПД цикла, изображённого на рисунке 2. Как было выяснено ранее, изобары 1-2 и 3-4 для фотонного газа совпадают с изотермами. Так что рассматриваемый цикл похож на цикл Карно. В цикле Карно процессы 2-3 и 4-1 должны быть адиабатическими. В данной задаче эти процессы описываются уравнением $PV^{4/3} = const$. Чтобы сравнить процессы 2-3 и 4-1 с адиабатическими, нужно получить уравнение адиабаты фотонного газа. Для этого применим первое начало термодинамики и формулу (2):
$\delta Q = \delta A + dU = 4PdV + 3VdP = 0$.
Отсюда получим
$\frac{dP}{P} = - \frac{4}{3} \frac{dV}{V}$.
После интегрирования находим
$PV^{4/3} = const$.
Таким образом, в задаче речь идёт именно о цикле Карно, коэффициент полезного действия которого, как известно, не зависит от рода рабочего вещества и равен
$\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$,
в том числе и для рассматриваемого в задаче цикла с фотонным газом.
С точки зрения квантовой физики электромагнитное излучение представляет собой множество хаотически движущихся и невзаимодействующих друг с другом частиц - фотонов. Другими словами, электромагнитное излучение представляет собой фотонный газ, который во многом аналогичен идеальному газу, рассматриваемому в молекулярно-кинетической теории. Есть и существенные отличия. Все фотоны движутся с одинаковой скоростью (скоростью света в вакууме), и их число не остаётся постоянным при изменении состояния: фотоны рождаются и поглощаются. Тем не менее, ряд свойств фотонного газа можно установить, опираясь на молекулярно-кинетическую теорию идеальных газов, что и предлагается проделать в данной задаче.
1. Докажите, что давление $P$, оказываемое частицами идеального газа на плоскую поверхность, определяется формулой
$P= \frac{1}{3} n < \vec{v} \cdot \vec{p} >$, (1)
где $n$ - число частиц в единице объёма, $\vec{v}$ - скорость частиц, $ \vec{p}$ - их импульс, $< \vec{v} \cdot \vec{p}>$ - среднее значение скалярного произведения $ \vec{v} \cdot \vec{p}$.
2. Используя формулу для давления частиц идеального газа (1), докажите, что давление света $P$ можно вычислить по формуле
$P = \frac{1}{3} u$, (2)
где $u$ - объёмная плотность энергии излучения.
3. Докажите, рассматривая цикл Карно для фотонного газа при малых изменениях температуры и объёма, что световое давление пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры.
4. Используя результаты предыдущего пункта, получите закон Стефана-Больцмана для мощности излучения абсолютно чёрного тела с единицы поверхности:
$W= \sigma T^{4}$,
где $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана, а $T$ - абсолютная температура. Получите соотношение между $\sigma$ и коэффициентом пропорциональности между давлением и четвёртой степенью температуры. При выводе учтите, что число частиц газа, соударяющихся с единицей поверхности стенки в единицу времени, равно $ \nu = \frac{1}{4} n < v > $,
где $n$ - число частиц в единице объёма, а $ < v > $ - средний модуль скорости частиц.
5. Вычислите КПД цикла, совершаемого над фотонным газом. Цикл состоит из четырёх последовательных процессов:
1) изобарическое расширение из состояния с температурой $T_{1}$,
2) переход в состояние с температурой $T_{2}$ по закону $PV^{4/3} = const$,
3) изобарическое сжатие,
4) переход в исходное состояние снова по закону $pv^{4/3} = const$.
Решение:
рис.1
рис.2
Давление газа обусловлено ударами его частиц о стенки сосуда. Величина давления равна средней силе, действующей на единицу площади стенки. Найдём среднюю силу $F_{i}$, с которой действуют на стенку частицы, имеющие скорость $\vec{v}_{i}$ и импульс $\vec{p}_{i}$, направленные под углом $\alpha_{i}$ к нормали стенки. Для этого применим закон изменения импульса, считая удар частиц упругим. За время $\Delta t$ о единичную площадку стенки ударятся $N_{i} = n_{i}v_{i} \cos \alpha_{i} \Delta t$ таких частиц, где $n_{i}$ - их число в единице объёма:
$2 N_{i}p_{i} \cos \alpha_{i} = 2n_{i}v_{i} \cos \alpha_{i} p_{i} \cos \alpha_{i} = F_{i} \Delta t$.
Давление газа $P$ равно:
$P = < F_{i} > = 2 < n_{i}v_{ix}p_{ix} > = 2 < v_{ix}p_{ix} > \frac{1}{2}n$, (1)
где ось $x$ перпендикулярна к стенке. Множитель $1/2$ поставлен потому, что лишь половина частиц, имеющих одно и то же значение $\vec{v}_{i} \vec{p}_{i}$, движется к стенке, а другая - в противоположном направлении. Из-за хаотичности движения частиц
$< p_{i} \cos \alpha_{i} \cdot v_{i} \cos \alpha_{i} > = < v_{ix}p_{ix} > = \frac{1}{3} < v_{ix}p_{ix} + v_{iy}p_{iy} + v_{iz}p_{iz} > = \frac{1}{3} < \vec{v} \cdot \vec{p} >$.
Подставляя это в формулу (1), получим:
$P = \frac{1}{3} n < \vec{v} \cdot \vec{p} > $.
Ответ на второй пункт задачи просто следует из полученной формулы, если принять во внимание, что масса фотона равна нулю, и поэтому его энергия $E = pc$, где $c$ - скорость света, то есть скорость фотонов $v = c$:
$P = \frac{1}{3} nE = \frac{1}{3}u$, (2)
где $u = nE$ - энергия единицы объёма фотонного газа.
Рассматриваемый в третьем пункте цикл Карно изображён на рисунке 1. Давление фотонного газа отличается от плотности энергии излучения только множителем 1/3 в формуле (2), а плотность энергии не зависит от объёма подобно тому, как масса единицы объёма не зависит от объёма всего тела. Поэтому давление газа фотонов не зависит от объёма, а определяется только температурой. Таким образом, изотермы 1-2 и 3-4 совпадают с изобарами, что отражено на рисунке 77. Вследствие малости $dT$ и $dP$ график рассматриваемого цикла можно приближённо считать параллелограммом. Тогда его «площадь» равна $dP \cdot dT$, и получаем следующую формулу для КПД цикла:
$\eta = \frac{dT}{T} = \frac{ \delta A}{ \delta Q} = \frac{ dP \cdot dV}{ \delta Q}$. (3)
Количество теплоты $\delta Q$, сообщаемое фотонному газу при изотермическом расширении, выразим из первого начала термодинамики:
$\delta Q = dU + PdV = udV + PdV = 4PdV$.
Подставим последнее выражение в (3):
$\frac{dT}{T} = \frac{dP \cdot dV}{4 P dV}$.
Путём интегрирования находим
$P = aT^{4}$, (4)
где $a$ - некоторая постоянная величина.
В четвёртом пункте требуется, используя (4), получить выражение для мощности $W$ излучения единицы поверхности абсолютно чёрного тела. Для этого нужно сложить энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени единицей площади поверхности:
$W = \sum \nu_{i}E_{i}$,
где $E_{i}$ - энергия фотонов $i$-го сорта, а $\nu_{i}$ - их число, излучаемое в единицу времени единичной площадкой. Из условия известно, что
$\nu_{i} = \frac{1}{4} n_{i} < v_{i} >$,
где $n_{i}$ - число фотонов $i$-го сорта в единице объёма, а $< v_{i} > = c$ - скорость движения фотонов. Используя выражение для $\nu_{i}$, а также формулу (4) получим закон Стефана-Больцмана:
$W = \frac{1}{4} \sum n_{i}cE_{i} = \frac{c}{4}u = \frac{c}{4}3P = \frac{3}{4} caT^{4} = \sigma T^{4}$,
где $\sigma = 3 ca/4$. Таким образом, постоянная Стефана-Больцмана отличается от коэффициента пропорциональности $a$, входящего в формулу (4), лишь множителем $3c/4$.
Часто в литературе в формуле
$\nu = \frac{1}{4} n < v >$,
вместо 1/4 пишут множитель 1/6. Такой результат получается в более грубой модели, в которой рассматривается движение частиц только в трёх взаимно перпендикулярных направлениях.
В последнем пункте требуется найти КПД цикла, изображённого на рисунке 2. Как было выяснено ранее, изобары 1-2 и 3-4 для фотонного газа совпадают с изотермами. Так что рассматриваемый цикл похож на цикл Карно. В цикле Карно процессы 2-3 и 4-1 должны быть адиабатическими. В данной задаче эти процессы описываются уравнением $PV^{4/3} = const$. Чтобы сравнить процессы 2-3 и 4-1 с адиабатическими, нужно получить уравнение адиабаты фотонного газа. Для этого применим первое начало термодинамики и формулу (2):
$\delta Q = \delta A + dU = 4PdV + 3VdP = 0$.
Отсюда получим
$\frac{dP}{P} = - \frac{4}{3} \frac{dV}{V}$.
После интегрирования находим
$PV^{4/3} = const$.
Таким образом, в задаче речь идёт именно о цикле Карно, коэффициент полезного действия которого, как известно, не зависит от рода рабочего вещества и равен
$\eta = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$,
в том числе и для рассматриваемого в задаче цикла с фотонным газом.
