Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 801
2016-09-04 
С одним молем идеального одноатомного газа провели замкнутый цикл, изображённый на рисунке, где 1-2 изотерма, 2-3 изобара, 3-4 политропа, для которой $C = R/2$, и 4-1 изохора. Минимальная температура, достигаемая газом в цикле, $T_{min} = 300 К$. Политропическим процессом называется процесс, происходящий с постоянной теплоёмкостью $C$.
1. Укажите точки на цикле, в которых газ достигает максимальную $T_{max}$ и минимальную $T_{min}$ температуры, и определите $T_{max}$.
2. Определите количество теплоты $Q_{+}$, подведённое к газу за цикл.
3. Определите работу $A$ газа за цикл.
4. Определите КПД цикла $\eta$ и сравните с КПД идеальной тепловой машины, работающей между нагревателем и холодильником с температурами, соответственно, $T_{max}$ и $T_{min}$.
Решение:
Очевидно, что температура газа минимальна на изотерме 1-2. В процессе 2-3 газ нагревается, поскольку совершает положительную работу, а в процессе 3-4 охлаждается, из-за того, что
$C - C_{V} = pdV/dT < 0$.
Самая высокая температура оказывается в точке 3. Для нахождения этой температуры воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона:
$T_{max} = T_{min} \frac{V_{3}}{V_{2}} = 3T_{min} = 900 K$.
Тепло подводится к газу только на участке 2-3, поэтому
$Q_{+} = C_{p}(T_{3} - T_{2}) = C_{p}(T_{max} - T_{min})$.
Для одноатомного газа:
$C_{p} = \frac{5}{2}R$, откуда $Q_{+} = \frac{5}{2}R(T_{max} - T_{min})$.
Подставляя численные данные, находим $Q_{+} = 12,5 кДж$.
Для работы имеем
$A = A_{23} + A_{34} - A_{21}$.
Поскольку 2-3 изобара, то
$A_{23} = p_{2}(V_{3} - V_{2}) = R(T_{3} - T_{2}) = R(T_{max} - T_{min})$.
Работу в политропическом процессе находим согласно второму началу термодинамики
$C(T_{4} – T_{3}) = C_{V} (T_{4} — T_{3}) + A_{34}$, или $(C_{V} – C)(T_{max} – T_{4}) = A_{34}$ .
Для точного определения $T_{4}$ найдём уравнение политропы. Из второго начала термодинамики $pdV = (C - C_{V})dT$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона имеем $pdV + Vdp = RdT$. Из последних двух уравнений получаем:
$pdv = \frac{C – C_{V}}{R} (pdV + Vdp) \Rightarrow \int \frac{dV}{V} = \frac{C – C_{V}}{C_{p} - C} \int \frac{dp}{p} \Rightarrow pV^{ \frac{C- C_{p}}{C - C_{V}} } = const$
По условию $C = R/2$, значит на политропе $pV^{2} = RTV = const$. Из графика цикла видно, что:
$\frac{V_{3}}{V_{4}} = \frac{3}{4}$ , поэтому $T_{4} = \frac{3}{4} T_{3} = \frac{3}{4} T_{max}$ и $A_{34} = (C_{v} – C) \frac{1}{4} T_{max} = \frac{RT_{max}}{4}$.
Осталось определить работу на изотерме:
$dA_{21} = pdV = RT_{min} \frac{dV}{V}$, откуда $A_{21} = RT_{min} \int_{V_{2}}^{V_{1}} \frac{dV}{V} = RT_{min} ln \frac{V_{1}}{V_{2}}$.
Поскольку $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 4$, то $A_{21} = RT_{min} ln 4$. Окончательно:
$A = R(T_{max} – T_{min}) + \frac{RT_{max}}{4} – RT_{min} ln (4)$.
Подставляя численные значения, находим $A \approx 3,40 кДж$.
КПД цикла рассчитывается по формуле $\eta = A/Q_{+}$. Она даёт $\eta \approx 27%$. Для идеальной тепловой машины Карно имеем:
$\eta_{0} = \frac{T_{max} – T_{min}}{T_{max}} \approx 67 %$
что, естественно, больше чем для цикла, изображённого на рисунке, как и для любого другого между теми же тепловыми резервуарами.
С одним молем идеального одноатомного газа провели замкнутый цикл, изображённый на рисунке, где 1-2 изотерма, 2-3 изобара, 3-4 политропа, для которой $C = R/2$, и 4-1 изохора. Минимальная температура, достигаемая газом в цикле, $T_{min} = 300 К$. Политропическим процессом называется процесс, происходящий с постоянной теплоёмкостью $C$.
1. Укажите точки на цикле, в которых газ достигает максимальную $T_{max}$ и минимальную $T_{min}$ температуры, и определите $T_{max}$.
2. Определите количество теплоты $Q_{+}$, подведённое к газу за цикл.
3. Определите работу $A$ газа за цикл.
4. Определите КПД цикла $\eta$ и сравните с КПД идеальной тепловой машины, работающей между нагревателем и холодильником с температурами, соответственно, $T_{max}$ и $T_{min}$.
Решение:
Очевидно, что температура газа минимальна на изотерме 1-2. В процессе 2-3 газ нагревается, поскольку совершает положительную работу, а в процессе 3-4 охлаждается, из-за того, что
$C - C_{V} = pdV/dT < 0$.
Самая высокая температура оказывается в точке 3. Для нахождения этой температуры воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона:
$T_{max} = T_{min} \frac{V_{3}}{V_{2}} = 3T_{min} = 900 K$.
Тепло подводится к газу только на участке 2-3, поэтому
$Q_{+} = C_{p}(T_{3} - T_{2}) = C_{p}(T_{max} - T_{min})$.
Для одноатомного газа:
$C_{p} = \frac{5}{2}R$, откуда $Q_{+} = \frac{5}{2}R(T_{max} - T_{min})$.
Подставляя численные данные, находим $Q_{+} = 12,5 кДж$.
Для работы имеем
$A = A_{23} + A_{34} - A_{21}$.
Поскольку 2-3 изобара, то
$A_{23} = p_{2}(V_{3} - V_{2}) = R(T_{3} - T_{2}) = R(T_{max} - T_{min})$.
Работу в политропическом процессе находим согласно второму началу термодинамики
$C(T_{4} – T_{3}) = C_{V} (T_{4} — T_{3}) + A_{34}$, или $(C_{V} – C)(T_{max} – T_{4}) = A_{34}$ .
Для точного определения $T_{4}$ найдём уравнение политропы. Из второго начала термодинамики $pdV = (C - C_{V})dT$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона имеем $pdV + Vdp = RdT$. Из последних двух уравнений получаем:
$pdv = \frac{C – C_{V}}{R} (pdV + Vdp) \Rightarrow \int \frac{dV}{V} = \frac{C – C_{V}}{C_{p} - C} \int \frac{dp}{p} \Rightarrow pV^{ \frac{C- C_{p}}{C - C_{V}} } = const$
По условию $C = R/2$, значит на политропе $pV^{2} = RTV = const$. Из графика цикла видно, что:
$\frac{V_{3}}{V_{4}} = \frac{3}{4}$ , поэтому $T_{4} = \frac{3}{4} T_{3} = \frac{3}{4} T_{max}$ и $A_{34} = (C_{v} – C) \frac{1}{4} T_{max} = \frac{RT_{max}}{4}$.
Осталось определить работу на изотерме:
$dA_{21} = pdV = RT_{min} \frac{dV}{V}$, откуда $A_{21} = RT_{min} \int_{V_{2}}^{V_{1}} \frac{dV}{V} = RT_{min} ln \frac{V_{1}}{V_{2}}$.
Поскольку $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 4$, то $A_{21} = RT_{min} ln 4$. Окончательно:
$A = R(T_{max} – T_{min}) + \frac{RT_{max}}{4} – RT_{min} ln (4)$.
Подставляя численные значения, находим $A \approx 3,40 кДж$.
КПД цикла рассчитывается по формуле $\eta = A/Q_{+}$. Она даёт $\eta \approx 27%$. Для идеальной тепловой машины Карно имеем:
$\eta_{0} = \frac{T_{max} – T_{min}}{T_{max}} \approx 67 %$
что, естественно, больше чем для цикла, изображённого на рисунке, как и для любого другого между теми же тепловыми резервуарами.
