Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8000
2018-06-04 
Полностью заполненная водой ванна с вертикальными боковыми стенками освобождается от воды через открытое сливное отверстие в её горизонтальном дне за время $\tau$. Отверстие расположено в середине дна, и его площадь во много раз меньше площади поперечного сечения ванны. При открытом сливном отверстии вода свободно (без труб) выливается на пол. Если в ванну сначала насыпать до краев мелкую гальку, а затем заполнить ванну водой, то в этом случае ванна опорожняется за время $\tau/2$. При этом камешки гальки не закрывают сливного отверстия! Через какое время опорожнится ванна, если 75% гальки убрать (то есть оставшиеся камушки будут находиться в нижней четверти ванны) и снова заполнить её водой до краёв? Вязкостью воды можно пренебречь. При решении задачи считайте, что камешки гальки уменьшают площадь поперечного сечения ванны, доступную для воды.
Решение:
Скорость вытекания воды через небольшое отверстие в дне зависит от уровня жидкости в ванне. Эта зависимость следует из закона сохранения механической энергии: небольшая масса воды, находившаяся в тонком верхнем слое жидкости «исчезает», а из сливного отверстия, находящегося на расстоянии $h$ ниже, выливается такое же количество воды со скоростью $V: mgh = mV^{2}/2$. То есть $V = \sqrt{2gh}$ (формула Торричелли). Значит, высота уровня жидкости убывает со скоростью, которая зависит от уровня воды; при этом указанная скорость убывания уровня обратно пропорциональна площади поперечного сечения ванны $S$ и прямо пропорциональна площади сливного отверстия $s$. Эта зависимость выражается уравнением, которое представляет собой условие сохранения массы вытекающей из ванны воды:
$\frac{ \Delta h}{ \Delta t} = - \frac{s}{S} \sqrt{2gh}$.
Известно, что из заполненной полностью ванны вода вытекает за время $\tau$. Найдём за какое время вода вытечет из ванны, заполненной на четверть. Пусть $h(t)$ — зависимость высоты уровня воды от времени в этом случае $h(0) = H/4$, где $H$ — высота ванны. Введём новые переменные $h^{ \prime} = 4h, t^{ \prime} = 2t$. В новых переменных
$\begin{cases} \frac{ \Delta h^{ \prime} }{ \Delta t^{ \prime} } = - \frac{s}{S} \sqrt{2gh^{ \prime} }, \\ h^{ \prime}(0) = H; \end{cases}$
то есть получилось точно такое же уравнение с таким же начальным условием, как и для полностью заполненной ванны. Значит, $h^{ \prime} = 0$ при $t^{ \prime} = \tau$, то есть при $t = \frac{ \tau}{2}$. Получается, что последняя четверть объёма ванны опорожняется за время $\tau/2$, если камней в ванне нет. Первые три четверти опорожняются за время $\tau - \frac{ \tau}{2} = \frac{ \tau}{2}$. Так как времена опорожнения ванны без камней и ванны с камнями, согласно условию, отличаются в два раза, то из записанного уравнения следует, что сечение, «занятое» водой, в ванне с камнями, равно $S/2$. Поэтому время опорожнения последней четверти ванны, если она заполнена камнями, будет равно $\frac{1}{2} \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) = \frac{ \tau}{4}$. Время опорожнения ванны, заполненной камнями только на 25%, составит, следовательно: $\frac{ \tau}{2} + \frac{ \tau}{4} = \frac{3 \tau}{4}$ (поскольку сначала площадь водного зеркала в ванне равна ш, а затем, когда уровень воды доходит до камней, площадь водного зеркала уменьшается в 2 раза).
Ответ: $3 \tau/4$.
Полностью заполненная водой ванна с вертикальными боковыми стенками освобождается от воды через открытое сливное отверстие в её горизонтальном дне за время $\tau$. Отверстие расположено в середине дна, и его площадь во много раз меньше площади поперечного сечения ванны. При открытом сливном отверстии вода свободно (без труб) выливается на пол. Если в ванну сначала насыпать до краев мелкую гальку, а затем заполнить ванну водой, то в этом случае ванна опорожняется за время $\tau/2$. При этом камешки гальки не закрывают сливного отверстия! Через какое время опорожнится ванна, если 75% гальки убрать (то есть оставшиеся камушки будут находиться в нижней четверти ванны) и снова заполнить её водой до краёв? Вязкостью воды можно пренебречь. При решении задачи считайте, что камешки гальки уменьшают площадь поперечного сечения ванны, доступную для воды.
Решение:
Скорость вытекания воды через небольшое отверстие в дне зависит от уровня жидкости в ванне. Эта зависимость следует из закона сохранения механической энергии: небольшая масса воды, находившаяся в тонком верхнем слое жидкости «исчезает», а из сливного отверстия, находящегося на расстоянии $h$ ниже, выливается такое же количество воды со скоростью $V: mgh = mV^{2}/2$. То есть $V = \sqrt{2gh}$ (формула Торричелли). Значит, высота уровня жидкости убывает со скоростью, которая зависит от уровня воды; при этом указанная скорость убывания уровня обратно пропорциональна площади поперечного сечения ванны $S$ и прямо пропорциональна площади сливного отверстия $s$. Эта зависимость выражается уравнением, которое представляет собой условие сохранения массы вытекающей из ванны воды:
$\frac{ \Delta h}{ \Delta t} = - \frac{s}{S} \sqrt{2gh}$.
Известно, что из заполненной полностью ванны вода вытекает за время $\tau$. Найдём за какое время вода вытечет из ванны, заполненной на четверть. Пусть $h(t)$ — зависимость высоты уровня воды от времени в этом случае $h(0) = H/4$, где $H$ — высота ванны. Введём новые переменные $h^{ \prime} = 4h, t^{ \prime} = 2t$. В новых переменных
$\begin{cases} \frac{ \Delta h^{ \prime} }{ \Delta t^{ \prime} } = - \frac{s}{S} \sqrt{2gh^{ \prime} }, \\ h^{ \prime}(0) = H; \end{cases}$
то есть получилось точно такое же уравнение с таким же начальным условием, как и для полностью заполненной ванны. Значит, $h^{ \prime} = 0$ при $t^{ \prime} = \tau$, то есть при $t = \frac{ \tau}{2}$. Получается, что последняя четверть объёма ванны опорожняется за время $\tau/2$, если камней в ванне нет. Первые три четверти опорожняются за время $\tau - \frac{ \tau}{2} = \frac{ \tau}{2}$. Так как времена опорожнения ванны без камней и ванны с камнями, согласно условию, отличаются в два раза, то из записанного уравнения следует, что сечение, «занятое» водой, в ванне с камнями, равно $S/2$. Поэтому время опорожнения последней четверти ванны, если она заполнена камнями, будет равно $\frac{1}{2} \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) = \frac{ \tau}{4}$. Время опорожнения ванны, заполненной камнями только на 25%, составит, следовательно: $\frac{ \tau}{2} + \frac{ \tau}{4} = \frac{3 \tau}{4}$ (поскольку сначала площадь водного зеркала в ванне равна ш, а затем, когда уровень воды доходит до камней, площадь водного зеркала уменьшается в 2 раза).
Ответ: $3 \tau/4$.
