Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7997
2018-06-04 
У школьника Васи есть много одинаковых медных монет с температурой $t_{0}$ и теплоизолированный цилиндрический сосуд с водой, начальная температура которой тоже равна $t_{0}$. Вася по одной опускает монеты в воду, отпуская их без начальной скорости с высоты текущего уровня воды. Площадь дна сосуда $S$, начальный уровень воды $H$, масса одной монеты $m$, удельная теплоёмкость меди $c$, плотность меди равна $\rho$. Плотность и удельная теплоёмкость воды равны $\rho_{0}$ и $c_{0}$. До какой максимальной температуры можно нагреть воду таким способом? Сколько нужно бросить в воду монет, чтобы изменение её температуры было вдвое меньше максимально возможного? При решении задачи считайте, что монеты занимают весь объём ниже определенного уровня, то есть образуют на дне сплошной медный цилиндр (промежутки между монетами можно не учитывать). Теплоемкостью сосуда можно пренебречь.
Решение:
Поскольку промежутки между монетами можно не учитывать, то расстояния от верхнего края воды до верхнего края объёма, занимаемого монетами, всегда будет равно $H$. Нагревание жидкости будет происходить за счёт потенциальной энергии монет. При падении одной монеты, она опускается на глубину $H$, но такой же объём воды поднимается на высоту $H$, как бы занимая место монеты. То есть тепло, выделяемое при падении одной монеты, равно
$Q = mgH - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} mgH = \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} \right ) mgH$.
Это тепло идёт на нагрев всего содержимого сосуда, в том числе и последней монетки. Максимальную конечную температуру $t$ в сосуде можно найти, если предположить, что вся выделяющаяся теплота идёт на нагрев одной последней монетки. Действительно, при падении очередной монеты вода и все ранее утонувшие монеты немного нагреваются. Поэтому каждый раз температура содержимого сосуда немного повышается. Пусть содержимое сосуда нагрелось до максимально возможной температуры. Это означает, что при бросании очередной монеты вся выделившаяся при ее падении теплота пойдет на нагревание как раз этой монеты до максимальной установившейся температуры содержимого сосуда (т.к. иначе получилось бы, что максимальная температура содержимого еще не достигнута). Значит
$\left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} \right ) mgH = cm(t - t_{0}) \Rightarrow t = t_{0} + \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho } \right ) \frac{gH}{c}$.
Количество монет $N$, которое необходимо бросить, чтобы нагреть воду до температуры $t_{1} = \frac{t + t_{0} }{2}$, найдём из уравнения теплового баланса
$NQ = (Ncm + c_{0}\rho_{0}SH)(t_{1} - t_{0}) \Rightarrow N = \frac{c_{0} \rho_{0} SH }{cm}$.
У школьника Васи есть много одинаковых медных монет с температурой $t_{0}$ и теплоизолированный цилиндрический сосуд с водой, начальная температура которой тоже равна $t_{0}$. Вася по одной опускает монеты в воду, отпуская их без начальной скорости с высоты текущего уровня воды. Площадь дна сосуда $S$, начальный уровень воды $H$, масса одной монеты $m$, удельная теплоёмкость меди $c$, плотность меди равна $\rho$. Плотность и удельная теплоёмкость воды равны $\rho_{0}$ и $c_{0}$. До какой максимальной температуры можно нагреть воду таким способом? Сколько нужно бросить в воду монет, чтобы изменение её температуры было вдвое меньше максимально возможного? При решении задачи считайте, что монеты занимают весь объём ниже определенного уровня, то есть образуют на дне сплошной медный цилиндр (промежутки между монетами можно не учитывать). Теплоемкостью сосуда можно пренебречь.
Решение:
Поскольку промежутки между монетами можно не учитывать, то расстояния от верхнего края воды до верхнего края объёма, занимаемого монетами, всегда будет равно $H$. Нагревание жидкости будет происходить за счёт потенциальной энергии монет. При падении одной монеты, она опускается на глубину $H$, но такой же объём воды поднимается на высоту $H$, как бы занимая место монеты. То есть тепло, выделяемое при падении одной монеты, равно
$Q = mgH - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} mgH = \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} \right ) mgH$.
Это тепло идёт на нагрев всего содержимого сосуда, в том числе и последней монетки. Максимальную конечную температуру $t$ в сосуде можно найти, если предположить, что вся выделяющаяся теплота идёт на нагрев одной последней монетки. Действительно, при падении очередной монеты вода и все ранее утонувшие монеты немного нагреваются. Поэтому каждый раз температура содержимого сосуда немного повышается. Пусть содержимое сосуда нагрелось до максимально возможной температуры. Это означает, что при бросании очередной монеты вся выделившаяся при ее падении теплота пойдет на нагревание как раз этой монеты до максимальной установившейся температуры содержимого сосуда (т.к. иначе получилось бы, что максимальная температура содержимого еще не достигнута). Значит
$\left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} \right ) mgH = cm(t - t_{0}) \Rightarrow t = t_{0} + \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho } \right ) \frac{gH}{c}$.
Количество монет $N$, которое необходимо бросить, чтобы нагреть воду до температуры $t_{1} = \frac{t + t_{0} }{2}$, найдём из уравнения теплового баланса
$NQ = (Ncm + c_{0}\rho_{0}SH)(t_{1} - t_{0}) \Rightarrow N = \frac{c_{0} \rho_{0} SH }{cm}$.
