Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7981
2018-06-04 
Два спутника движутся по одной орбите на небольшом, по сравнению с радиусом Земли $R$, расстоянии друг от друга. Расстояние это при движении периодически меняется от $l_{1}$ до $l_{2}$. Найдите минимальное и максимальное удаления спутников от центра Земли, если период обращения спутников $T$.
Решение:
Из второго закона Кеплера или из закона сохранения момента импульса для спутников ясно, что максимальное расстояние между ними будет в перигее (ближайшей к Земле точке траектории), а минимальное в апогее, т.к. в перигее их скорость максимальна, а в апогее – минимальна.
По второму закону Кеплера: $\frac{1}{2} l_{1}r_{1} = \frac{1}{2} l_{2}r_{2}$.
Соотношение между большой полуосью орбиты $a$ и периодом $T$:
$a = \sqrt[3]{ \frac{GMT^{2} }{4 \pi^{2} } }$.
Если не считать его известным, то можно вывести его из третьего закона Кеплера и законов Ньютона, взяв в качестве второй орбиты круговую с радиусом $a$ (для неё будет тот же период $T$):
$\frac{mv^{2} }{a} = \frac{GmM}{a^{2} } \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{GM}{a} }, T = \frac{2 \pi a}{v} = 2 \pi a \sqrt{ \frac{a}{GM} } \Rightarrow a = \sqrt[3]{ \frac{GMT^{2} }{4 \pi^{2} } }$,
или, через ускорение свободного падения на поверхности Земли
$g = \frac{GM}{R^{2} }, a = \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } }$.
$r_{1} + r_{2} = 2a, r_{1} = \frac{l_{2} }{l_{1} } r_{2}$.
Окончательно Ответ:
$r_{2} = \frac{2al_{1} }{l_{1} + l_{2} } = \frac{2l_{1} \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } } }{l_{1} + l_{2} }, r_{1} = \frac{2al_{2} }{l_{1} + l_{2} } = \frac{2l_{2} \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } } }{l_{1} + l_{2} }$
Два спутника движутся по одной орбите на небольшом, по сравнению с радиусом Земли $R$, расстоянии друг от друга. Расстояние это при движении периодически меняется от $l_{1}$ до $l_{2}$. Найдите минимальное и максимальное удаления спутников от центра Земли, если период обращения спутников $T$.
Решение:
Из второго закона Кеплера или из закона сохранения момента импульса для спутников ясно, что максимальное расстояние между ними будет в перигее (ближайшей к Земле точке траектории), а минимальное в апогее, т.к. в перигее их скорость максимальна, а в апогее – минимальна.
По второму закону Кеплера: $\frac{1}{2} l_{1}r_{1} = \frac{1}{2} l_{2}r_{2}$.
Соотношение между большой полуосью орбиты $a$ и периодом $T$:
$a = \sqrt[3]{ \frac{GMT^{2} }{4 \pi^{2} } }$.
Если не считать его известным, то можно вывести его из третьего закона Кеплера и законов Ньютона, взяв в качестве второй орбиты круговую с радиусом $a$ (для неё будет тот же период $T$):
$\frac{mv^{2} }{a} = \frac{GmM}{a^{2} } \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{GM}{a} }, T = \frac{2 \pi a}{v} = 2 \pi a \sqrt{ \frac{a}{GM} } \Rightarrow a = \sqrt[3]{ \frac{GMT^{2} }{4 \pi^{2} } }$,
или, через ускорение свободного падения на поверхности Земли
$g = \frac{GM}{R^{2} }, a = \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } }$.
$r_{1} + r_{2} = 2a, r_{1} = \frac{l_{2} }{l_{1} } r_{2}$.
Окончательно Ответ:
$r_{2} = \frac{2al_{1} }{l_{1} + l_{2} } = \frac{2l_{1} \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } } }{l_{1} + l_{2} }, r_{1} = \frac{2al_{2} }{l_{1} + l_{2} } = \frac{2l_{2} \sqrt[3]{ \frac{gR^{2}T^{2} }{4 \pi^{2} } } }{l_{1} + l_{2} }$
