Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7980
2018-06-04 
Длинные сани, скользящие по очень гладкому льду, въезжают на асфальт и останавливаются, не пройдя половины своей длины. После этого саням толчком сообщают первоначальную скорость, и через некоторое время они вновь останавливаются. Как относятся пути торможения в первом и во втором случае? Как относятся времена торможения?
Решение:
Т.к. сани длинные, будем считать, что сила реакции равномерно распределена по всей длине. Второй закон Ньютона:
$ma_{x} = - \mu mg \frac{x}{L}$,
или
$a_{x} + \omega^{2}x = 0$, где $\omega = \sqrt{ \frac{ \mu g}{L} }$.
Т.е. от момента заезда на границу с асфальтом и до остановки сани движутся по гармоническому закону, причём касание асфальта соответствует положению равновесия (там сила ноль), а остановка – амплитудному положению. Т.о. время до остановки в первом случае равно четверти периода, а путь – амплитуде:
$x(t) = A \sin \omega t, t_{1} = \frac{T}{4}, S_{1} = A = \frac{V_{0} }{ \omega}$.
Перемещение $S_{2}$ можно найти из закона сохранения энергии при колебаниях:
$\omega^{2} S_{1}^{2} + V_{0}^{2} = \omega^{2} (S_{1} + S_{2} )^{2}$, заменяя $V_{0} = \omega S_{1}$, получим $2S_{1}^{2} = (S_{1} + S_{2} )^{2}$,
откуда
$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \sqrt{2} + 1$.
Этот результат можно было получить, просто найдя интегрированием работу силы трения и применив теорему о кинетической энергии. (Заметим, что $S_{2} < S_{1}$, значит, сани не полностью заехали на асфальт, т.е. уравнение второго закона Ньютона одинаково работает и в первом и во втором случае).
Чтобы найти время $t_{2}$, предположим, сани по льду ехали с такой скоростью, которая позволяет заехать на асфальт на расстояние $S_{1} + S_{2}$. От $x = 0$ до $x = S_{1}$ прошло время $\tau$, а от $x = 0$ до $x = S_{1} + S_{2}$, т.е. до остановки, $T/4$:
$S_{1} = (S_{1} + S_{2} ) \sin \omega \tau, \omega = \frac{2 \pi}{T}$.
Подставив соотношение путей, получим
$\omega \tau = \frac{ \pi}{4}, \tau = \frac{T}{8}, t_{2} = \frac{T}{4} - \tau = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8}, \frac{t_{1} }{t_{2} } = 2$.
Ответ: $\frac{S_{1} }{S_{2} } = \sqrt{2} + 1, \frac{t_{1} }{t_{2} } = 2$.
Длинные сани, скользящие по очень гладкому льду, въезжают на асфальт и останавливаются, не пройдя половины своей длины. После этого саням толчком сообщают первоначальную скорость, и через некоторое время они вновь останавливаются. Как относятся пути торможения в первом и во втором случае? Как относятся времена торможения?
Решение:
Т.к. сани длинные, будем считать, что сила реакции равномерно распределена по всей длине. Второй закон Ньютона:
$ma_{x} = - \mu mg \frac{x}{L}$,
или
$a_{x} + \omega^{2}x = 0$, где $\omega = \sqrt{ \frac{ \mu g}{L} }$.
Т.е. от момента заезда на границу с асфальтом и до остановки сани движутся по гармоническому закону, причём касание асфальта соответствует положению равновесия (там сила ноль), а остановка – амплитудному положению. Т.о. время до остановки в первом случае равно четверти периода, а путь – амплитуде:
$x(t) = A \sin \omega t, t_{1} = \frac{T}{4}, S_{1} = A = \frac{V_{0} }{ \omega}$.
Перемещение $S_{2}$ можно найти из закона сохранения энергии при колебаниях:
$\omega^{2} S_{1}^{2} + V_{0}^{2} = \omega^{2} (S_{1} + S_{2} )^{2}$, заменяя $V_{0} = \omega S_{1}$, получим $2S_{1}^{2} = (S_{1} + S_{2} )^{2}$,
откуда
$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \sqrt{2} + 1$.
Этот результат можно было получить, просто найдя интегрированием работу силы трения и применив теорему о кинетической энергии. (Заметим, что $S_{2} < S_{1}$, значит, сани не полностью заехали на асфальт, т.е. уравнение второго закона Ньютона одинаково работает и в первом и во втором случае).
Чтобы найти время $t_{2}$, предположим, сани по льду ехали с такой скоростью, которая позволяет заехать на асфальт на расстояние $S_{1} + S_{2}$. От $x = 0$ до $x = S_{1}$ прошло время $\tau$, а от $x = 0$ до $x = S_{1} + S_{2}$, т.е. до остановки, $T/4$:
$S_{1} = (S_{1} + S_{2} ) \sin \omega \tau, \omega = \frac{2 \pi}{T}$.
Подставив соотношение путей, получим
$\omega \tau = \frac{ \pi}{4}, \tau = \frac{T}{8}, t_{2} = \frac{T}{4} - \tau = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8}, \frac{t_{1} }{t_{2} } = 2$.
Ответ: $\frac{S_{1} }{S_{2} } = \sqrt{2} + 1, \frac{t_{1} }{t_{2} } = 2$.
