Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 798
2016-09-04 
Оцените, на какую величину $\Delta x$ за сутки увеличивается толщина льда, покрывающего водоём, при температуре окружающей среды $t = - 20^{ \circ}C$. В начале похолодания толщина льда была равна $h = 20 см$. Теплопроводность льда $k = 2,2 Вт/(м \cdot К)$, его удельная теплота плавления $\lambda = 3,35 \cdot 10^{5} Дж/кг$, а плотность $\rho = 900 кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров:
$\lambda \rho S dx = k \frac{t_{0}-t}{x} S d \tau$, (1)
где $S$ - площадь поверхности льда, $x$ - толщина льда, $t_{0} = 0^{ \circ}C$,$dx$ - толщина льда, образовавшегося за время $d \tau$. Распределение температуры внутри льда полагаем линейным. Интегрируя (1) с учётом того, что при изменении времени $\tau$ от $0$ до $\Delta = 24$ часа толщина льда $x$ изменяется от $h$ до $h + \Delta x$, получим квадратное уравнение относительно $\Delta x$:
$\Delta x^{2} + 2 \Delta xh - \frac{2k(t_{0} – t) \Delta \tau}{ \lambda \rho} = 0$.
Решение этого уравнения даёт ответ:
$\Delta x = h \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2k(t_{0}-t) \Delta \tau}{ \lambda \rho h^{2}}} - 1 \right ) \approx 1,2 см$
Замечание. Приведённое решение не учитывает многих обстоятельств, имеющих место при замерзании реального водоёма, и поэтому является скорее оценочным, чем точным. Например, мы предположили, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров. Это действительно было бы верно при условии, что к моменту начала образования льда вся вода в водоёме уже остыла до температуры $0{ \circ}C$. Но вода, как известно, имеет максимальную плотность при температуре примерно $+4^{ \circ}C$ (и меньшую плотность как при больших, так и при меньших температурах). Поэтому вся вода, остывшая на поверхности водоёма до температуры $+4^{ \circ} C$, «утонет» и соберётся на дне. Теплота от этой «подстилки», имеющей температуру около $+4^{ \circ}$, также будет передаваться (по механизму теплопроводности) более холодным верхним слоям воды и далее образующемуся льду и атмосфере.
Оцените, на какую величину $\Delta x$ за сутки увеличивается толщина льда, покрывающего водоём, при температуре окружающей среды $t = - 20^{ \circ}C$. В начале похолодания толщина льда была равна $h = 20 см$. Теплопроводность льда $k = 2,2 Вт/(м \cdot К)$, его удельная теплота плавления $\lambda = 3,35 \cdot 10^{5} Дж/кг$, а плотность $\rho = 900 кг/м^{3}$.
Решение:
Предположим, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров:
$\lambda \rho S dx = k \frac{t_{0}-t}{x} S d \tau$, (1)
где $S$ - площадь поверхности льда, $x$ - толщина льда, $t_{0} = 0^{ \circ}C$,$dx$ - толщина льда, образовавшегося за время $d \tau$. Распределение температуры внутри льда полагаем линейным. Интегрируя (1) с учётом того, что при изменении времени $\tau$ от $0$ до $\Delta = 24$ часа толщина льда $x$ изменяется от $h$ до $h + \Delta x$, получим квадратное уравнение относительно $\Delta x$:
$\Delta x^{2} + 2 \Delta xh - \frac{2k(t_{0} – t) \Delta \tau}{ \lambda \rho} = 0$.
Решение этого уравнения даёт ответ:
$\Delta x = h \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2k(t_{0}-t) \Delta \tau}{ \lambda \rho h^{2}}} - 1 \right ) \approx 1,2 см$
Замечание. Приведённое решение не учитывает многих обстоятельств, имеющих место при замерзании реального водоёма, и поэтому является скорее оценочным, чем точным. Например, мы предположили, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров. Это действительно было бы верно при условии, что к моменту начала образования льда вся вода в водоёме уже остыла до температуры $0{ \circ}C$. Но вода, как известно, имеет максимальную плотность при температуре примерно $+4^{ \circ}C$ (и меньшую плотность как при больших, так и при меньших температурах). Поэтому вся вода, остывшая на поверхности водоёма до температуры $+4^{ \circ} C$, «утонет» и соберётся на дне. Теплота от этой «подстилки», имеющей температуру около $+4^{ \circ}$, также будет передаваться (по механизму теплопроводности) более холодным верхним слоям воды и далее образующемуся льду и атмосфере.
