Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7969
2018-05-31 
Заряженная частица движется равномерно со скоростью $v$ по окружности радиуса $R$, лежащей в плоскости ху (рис.). На оси х в точке Р, которая отстоит от центра окружности на расстояние, значительно превышающее $R$, находится наблюдатель. Найти:
а) связь между наблюдаемыми значениями y-проекции ускорения частицы и ее у-координаты;
б) отношение плотностей потока электромагнитного излучения $S_{1}/S_{2}$ в точке Р в моменты времени, когда частица для наблюдателя Р движется к нему и от него, как показано на рисунке.
Решение:
По кругу $x = R \sin \omega t, y = R \cos \omega t$
где $\omega = \frac{v}{R}$. Если $t$ - параметр в $x(t), y(t)$ и $t^{ \prime}$ время наблюдателя, тогда
$t^{ \prime} = t + \frac{l - x(t) }{c}$
где мы пренебрегли эффектом координат второго порядка. Наблюдаемая координата равна
$x^{ \prime} ( t^{ \prime} ) = x(t), y^{ \prime}( t^{ \prime} ) = y(t)$
Тогда $\frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dy}{dt^{ \prime} } = \frac{dt}{dt^{ \prime} } \frac{dy}{dt} = \frac{ - \omega R \sin \omega t}{1 - \frac{ \omega R}{c} \cos \omega t } = \frac{ - \omega x}{1 - \frac{ \omega y}{c} } = \frac{ - vx/R}{1 - \frac{vy}{cR} }$
и $\frac{d^{2} y^{ \prime} }{dt^{ \prime 2} } = \frac{dt}{dt^{ \prime} } \frac{d}{dt} \left ( \frac{-vx/R}{ 1 - \frac{vy}{cR} } \right ) = \frac{1}{1 - \frac{vy}{cR} } \left ( \frac{ - \frac{v^{2} }{R^{2} } y }{1 - \frac{vy}{cR} } + \frac{ \frac{vx}{R} \left ( \frac{v^{2} }{cR^{2} } x \right ) }{ \left ( 1 - \frac{vy}{cR} \right )^{2} } \right ) = \frac{ \frac{ \nu^{2} }{R} \left ( \frac{v}{c} - \frac{y}{R} \right ) }{ \left ( 1 - \frac{vy}{cR} \right )^{3} }$.
Это наблюдаемое ускорение.
(б) Плотность потока энергии электромагнитного излучения $S$ пропорциональна квадрату y-проекции наблюдаемого ускорения частицы (т.е. $ \frac{d^{2} y^{ \prime} }{dt^{ \prime 2} } $ ).
Таким образом $ \frac{S_{1} }{S_{2} } = \left ( \frac{ \frac{ \frac{v}{c} - 1 }{ \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )^{3} } }{ \frac{ \frac{v}{c} + 1 }{ \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )^{3} } } \right )^{2} = \frac{ \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )^{4} }{ \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )^{4} } $
Заряженная частица движется равномерно со скоростью $v$ по окружности радиуса $R$, лежащей в плоскости ху (рис.). На оси х в точке Р, которая отстоит от центра окружности на расстояние, значительно превышающее $R$, находится наблюдатель. Найти:
а) связь между наблюдаемыми значениями y-проекции ускорения частицы и ее у-координаты;
б) отношение плотностей потока электромагнитного излучения $S_{1}/S_{2}$ в точке Р в моменты времени, когда частица для наблюдателя Р движется к нему и от него, как показано на рисунке.
Решение:
По кругу $x = R \sin \omega t, y = R \cos \omega t$
где $\omega = \frac{v}{R}$. Если $t$ - параметр в $x(t), y(t)$ и $t^{ \prime}$ время наблюдателя, тогда
$t^{ \prime} = t + \frac{l - x(t) }{c}$
где мы пренебрегли эффектом координат второго порядка. Наблюдаемая координата равна
$x^{ \prime} ( t^{ \prime} ) = x(t), y^{ \prime}( t^{ \prime} ) = y(t)$
Тогда $\frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dy}{dt^{ \prime} } = \frac{dt}{dt^{ \prime} } \frac{dy}{dt} = \frac{ - \omega R \sin \omega t}{1 - \frac{ \omega R}{c} \cos \omega t } = \frac{ - \omega x}{1 - \frac{ \omega y}{c} } = \frac{ - vx/R}{1 - \frac{vy}{cR} }$
и $\frac{d^{2} y^{ \prime} }{dt^{ \prime 2} } = \frac{dt}{dt^{ \prime} } \frac{d}{dt} \left ( \frac{-vx/R}{ 1 - \frac{vy}{cR} } \right ) = \frac{1}{1 - \frac{vy}{cR} } \left ( \frac{ - \frac{v^{2} }{R^{2} } y }{1 - \frac{vy}{cR} } + \frac{ \frac{vx}{R} \left ( \frac{v^{2} }{cR^{2} } x \right ) }{ \left ( 1 - \frac{vy}{cR} \right )^{2} } \right ) = \frac{ \frac{ \nu^{2} }{R} \left ( \frac{v}{c} - \frac{y}{R} \right ) }{ \left ( 1 - \frac{vy}{cR} \right )^{3} }$.
Это наблюдаемое ускорение.
(б) Плотность потока энергии электромагнитного излучения $S$ пропорциональна квадрату y-проекции наблюдаемого ускорения частицы (т.е. $ \frac{d^{2} y^{ \prime} }{dt^{ \prime 2} } $ ).
Таким образом $ \frac{S_{1} }{S_{2} } = \left ( \frac{ \frac{ \frac{v}{c} - 1 }{ \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )^{3} } }{ \frac{ \frac{v}{c} + 1 }{ \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )^{3} } } \right )^{2} = \frac{ \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )^{4} }{ \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )^{4} } $
