Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 796
2016-09-04 
Большое число одинаковых монет уложили плоскими сторонами вплотную друг к другу, разделив их круглыми кусочками бумаги, совпадающими по диаметру с монетами. Получившийся длинный цилиндр завернули бумагой в два слоя. Один из торцов этого цилиндра касается термостата, имеющего постоянную температуру $T_{1}$. Ближайшую к термостату монету и сам термостат разделяет кусочек бумаги толщиной $h$. Сам цилиндр находится в воздухе, температура которого $T_{0}$. Теплопроводность монет много больше теплопроводности бумаги. Диаметр монеты $d$, толщина монеты $H$. Толщина слоя бумаги $h (h \ll d)$. Теплопроводность материала бумаги $\lambda$. Со временем установилось стационарное распределение температуры. Какое количество тепла получает цилиндр из монет от термостата в единицу времени?
Решение:
Поскольку число монет очень велико, то уменьшение на единицу числа звеньев, состоящих из монеты и бумажной прокладки, не изменит теплопроводности цилиндра вдоль его оси, то есть отношение количества теплоты, проходящего в этом направлении, к разности температур торцов. Поэтому можно записать уравнение, отражающее сохранение энергии, в таком виде:
$Q = \frac{ \pi \lambda H d}{2h} (T - T_{0}) + Q \frac{T - T_{0}}{T_{1} - T_{0}}$,
где $T$ - температура ближайшей к горячему торцу монеты. Первое слагаемое в правой части (1) выражает количество теплоты, передаваемое через боковую поверхность этой монеты, а второе — через её основание в остальную часть цилиндра. Температура монеты $T$ связана с поступающим в неё количеством теплоты $Q$ соотношением
$Q = \lambda \frac{ \pi d^{2}}{4h} (T_{1} - T)$
Исключая из (1) и (2) параметр $T$, получим квадратное уравнение для искомой величины $Q$:
$Q^{2} + \frac{ \pi \lambda Hd}{2h}(T_{1} -T_{0})Q - \frac{ \pi^{2} \lambda^{2} H d^{3}}{8h^{2}} (T_{1} - T_{0})^{2} = 0$.
Решая это уравнение, найдём
$Q = \frac{ \pi \lambda Hd}{4h} (T_{1} - T_{0}) \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2d}{H}} -1 \right )$.
Большое число одинаковых монет уложили плоскими сторонами вплотную друг к другу, разделив их круглыми кусочками бумаги, совпадающими по диаметру с монетами. Получившийся длинный цилиндр завернули бумагой в два слоя. Один из торцов этого цилиндра касается термостата, имеющего постоянную температуру $T_{1}$. Ближайшую к термостату монету и сам термостат разделяет кусочек бумаги толщиной $h$. Сам цилиндр находится в воздухе, температура которого $T_{0}$. Теплопроводность монет много больше теплопроводности бумаги. Диаметр монеты $d$, толщина монеты $H$. Толщина слоя бумаги $h (h \ll d)$. Теплопроводность материала бумаги $\lambda$. Со временем установилось стационарное распределение температуры. Какое количество тепла получает цилиндр из монет от термостата в единицу времени?
Решение:
Поскольку число монет очень велико, то уменьшение на единицу числа звеньев, состоящих из монеты и бумажной прокладки, не изменит теплопроводности цилиндра вдоль его оси, то есть отношение количества теплоты, проходящего в этом направлении, к разности температур торцов. Поэтому можно записать уравнение, отражающее сохранение энергии, в таком виде:
$Q = \frac{ \pi \lambda H d}{2h} (T - T_{0}) + Q \frac{T - T_{0}}{T_{1} - T_{0}}$,
где $T$ - температура ближайшей к горячему торцу монеты. Первое слагаемое в правой части (1) выражает количество теплоты, передаваемое через боковую поверхность этой монеты, а второе — через её основание в остальную часть цилиндра. Температура монеты $T$ связана с поступающим в неё количеством теплоты $Q$ соотношением
$Q = \lambda \frac{ \pi d^{2}}{4h} (T_{1} - T)$
Исключая из (1) и (2) параметр $T$, получим квадратное уравнение для искомой величины $Q$:
$Q^{2} + \frac{ \pi \lambda Hd}{2h}(T_{1} -T_{0})Q - \frac{ \pi^{2} \lambda^{2} H d^{3}}{8h^{2}} (T_{1} - T_{0})^{2} = 0$.
Решая это уравнение, найдём
$Q = \frac{ \pi \lambda Hd}{4h} (T_{1} - T_{0}) \left ( \sqrt{ 1 + \frac{2d}{H}} -1 \right )$.
