ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь.


Решение:


Если заряд на конденсаторе равен $Q$, скорость увеличения энергии конденсатора

$= \frac{d}{dt} \left ( \frac{1}{2} \frac{ Q^{2} }{C} \right ) = \frac{ Q \dot{Q} }{C} = \frac{d}{ \epsilon_{0} \pi R^{2} } Q \dot{Q}$

Тогда электрическое поле между пластинами (внутри него) равно $E = \frac{Q}{ \pi R^{2} \epsilon_{0} }$.

Таким образом, ток $= \frac{ \partial D}{ \partial t} = \frac{ \dot{Q} }{ \pi R^{2} \epsilon_{0} }$

Это ведет к магнитному полю (замкнутому) внутри пластин. На радиальном расстоянии $r$

$2 \pi r H_{ \theta}(r) = \pi r^{2} \frac{ \dot{Q} }{ \pi R^{2} }$ или $H_{ \theta} = \frac{ \dot{Q} r}{2 \pi R^{2} }$

Следовательно, $H_{ \theta} = \frac{Q}{2 \pi R}$ на краю.

Таким образом, внутренний вектор Пойнтинга $= S \frac{Q}{2 \pi R} \frac{Q}{ \pi R^{2} \epsilon_{0} }$

Общий поток $= 2 \pi Rd S = \frac{ Q \dot{Q} d }{ \pi R^{2} \epsilon_{0} }$