ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса $R = 6,0 см$, подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты $\omega = 1000 рад/с$. Найти отношение амплитудных значений магнитной и электрической энергий внутри конденсатора.


Решение:


Внутри конденсатора пиковая электрическая энергия $W_{e} = \frac{1}{2} CV_{m}^{2}$

$= \frac{1}{2} V_{m}^{2} \frac{ \epsilon_{0} \pi R^{2} }{d}$

($d$ - расстояние между пластинами, $\pi R^{2}$ - площадь каждой пластины).
$V = V_{m} \sin \omega t, V_{m}$ - максимальное напряжение.
Изменение электрического поля вызывает ток смещения

$j_{см} = \frac{ \partial D}{ \partial t} = \epsilon_{0} E_{m} \omega \cos \omega t = \frac{ \epsilon_{0} \omega V_{m} }{d} \cos \omega t$

Это приводит к возникновению магнитного поля $B(r)$ (на радиальном расстоянии $r$ от центра пластины)

$B(r) 2 \pi r = \mu_{0} \pi r^{2} j_{см} = \mu_{0} \pi r^{2} \frac{ \epsilon_{0} \omega V_{m}} {d} \cos \omega t$
$B = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \mu_{0} \omega \frac{r}{d} V_{m} \cos \omega t$

Энергия, связанная с этим полем

$= \int d^{2}r \frac{B^{2} }{2 \mu_{0} } = \frac{1}{8} \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} \frac{ \omega^{2} }{d^{2} } 2 \pi \int_{0}^{R} r^{2} rdr \cdot d \cdot V_{m}^{2} \cos^{2} \omega t = \frac{1}{16} \pi \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} \frac{ \omega^{2} R^{4} }{d} V_{m}^{2} \cos^{2} \omega t$

Таким образом, максимальная магнитная энергия

$W_{m} = \frac{ \epsilon_{0}^{2} \mu_{0} }{16} ( \omega R)^{2} \frac{ \pi R^{2} }{d} V_{m}^{2}$

Следовательно $\frac{W_{m} }{W_{e} } = \frac{1}{8} \epsilon_{0} \mu_{0} ( \omega R)^{2} = \frac{1}{8} \left ( \frac{ \omega R}{c} \right )^{2} = 5 \cdot 10^{ -15}$

Приближение справедливо только в том случае, если $\omega R \ll c$.