ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В среде с плотностью $\rho$ распространяется плоская продольная гармоническая волна. Скорость волны равна $v$. Считая изменение плотности среды при прохождении волны $\Delta \rho \ll \rho$, показать, что:
а) приращение давления в среде $\Delta p = - \rho v^{2}( \partial \chi/ \partial x)$, где $\partial \chi/ \partial x$ — относительная деформация;
б) интенсивность волны определяется формулой (4.3и).


Решение:


(а) Рассмотрим движение элемента среды толщины $dx$ и удельной площади поперечного сечения. Пусть $\xi$ - смещение частиц среды в точке х. Тогда уравнение движения

$\rho dx \xi = - dp$

где $dp$ - приращение давления по длине $dx$
Вспоминая волновое уравнение

$\xi = v^{2} \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial x^{2} }$

мы можем записать вышеприведенное уравнение

$\rho v^{2} \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial x^{2} } dx = - dp$

Интегрируя это уравнение, получим

$\Delta p =$ избыточное давление $= - \rho v^{2} \frac{ \partial \xi}{ \partial x} + Const$

При отсутствии деформации (волны) избыточное давление составляет $\Delta p = 0$. Итак, $const = 0$ и

$\Delta p = - \rho v^{2} \frac{ \partial \xi}{ \partial x}$

(б) Мы нашли ранее, что

$w = w_{k} + w_{p} =$ полная плотность энергии
$w_{k} = \frac{1}{2} \rho \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial t} \right )^{2}, w_{p} = \frac{1}{2} E \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2} \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2}$

Легко видеть, что среднее по пространству-времени для обеих плотностей одно и то же, а среднее время пространственного времени полной плотности энергии

$\langle w \rangle = \langle \rho v^{2} \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2} \rangle$

Интенсивность волны

$I = v \langle w \rangle = \langle \frac{ ( \Delta p)^{2} }{ \rho v} \rangle$

Используя $\langle ( \Delta p)^{2} \rangle = \frac{1}{2} ( \Delta p)_{m}^{2}$ мы получаем $I = \frac{ ( \Delta p)_{m}^{2} }{2 \rho v}$