Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 793
2016-09-04 
Меняя напряжение, подаваемое на электрический чайник, можно изменять потребляемую им мощность $P$. В зависимости от $P$ чайник с водой можно нагреть до различных максимальных температур. Эту зависимость отражает таблица 1.
Остывание нагретого чайника, выключенного из сети, описывает таблица 2. Определите объём воды, если теплоёмкость пустого чайника $C_{0} = 100 Дж/К$, удельная теплоёмкость воды $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot К}$, плотность воды $\rho = 1000 \frac{кг}{м^{3}}$.
Решение:
Температура чайника при мощности $P$ перестаёт увеличиваться, достигнув установившегося значения $t$, когда энергия, потребляемая из сети за время $d \tau$ , целиком передаётся в окружающую среду, то есть:
$P d \tau = k(t – t_{0}) d \tau$, (1)
где $k$ - коэффициент теплоотдачи, $t_{0}$ температура окружающей среды. Линейная зависимость $P$ от $(t - t_{0})$, описываемая формулой (1), подтверждается результатами, приведёнными в таблице 1. Таблица также позволяет найти $k$ как угловой коэффициент этой зависимости
$k = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = 5 \frac{Дж}{с \cdot К}$. (2)
При охлаждении чайника с горячей водой справедливо равенство
$(cm + C_{0})dt = -k(t – t_{0})d \tau$, (3)
где $m$ - масса воды в чайнике, $dt$ - изменение его температуры за время $d \tau$. Перепишем уравнение (3):
$\frac{dt}{d \tau} = - \frac{k(t-t_{0})}{cm + C_{0}}$.
В начале охлаждения, при $t = t_{f} =80^{ \circ}C$:
$B = \frac{dt}{d \tau} = - \frac{k(t_{f} – t_{0})}{cm + C_{0}}$. (4)
Отношение $B = dt/ d \tau$ равно угловому коэффициенту графика зависимости $t ( \tau)$ в точке $\tau = 0$. Этот угловой коэффициент можно приближённо найти из таблицы 2 по двум-трём первым точкам:
$B \approx – 0, 080 \frac{К}{с}$.
Подставляя $B$ в формулу (4), получим объём $V$ воды в чайнике
$V = \frac{m}{ \rho} = \frac{-k (t_{f} – t_{0}) – BC_{0}}{B c \rho} \approx 0,9 л $.
Если проинтегрировать уравнение (3), то получится:
$t -t_{0} = (t_{f} – t_{0}) e^{- \frac{k \tau}{cm + C_{0}}} = (t_{f} – t_{0}) e^{ - B \frac{\tau}{t_{f} – t_{0}}}$.
На рисунке представлены точки, полученные из таблицы 2, и график этой функции при найденном значении $B$. Видно, что выполненные расчёты согласуются с экспериментом.
Меняя напряжение, подаваемое на электрический чайник, можно изменять потребляемую им мощность $P$. В зависимости от $P$ чайник с водой можно нагреть до различных максимальных температур. Эту зависимость отражает таблица 1.
Остывание нагретого чайника, выключенного из сети, описывает таблица 2. Определите объём воды, если теплоёмкость пустого чайника $C_{0} = 100 Дж/К$, удельная теплоёмкость воды $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot К}$, плотность воды $\rho = 1000 \frac{кг}{м^{3}}$.
Решение:
Температура чайника при мощности $P$ перестаёт увеличиваться, достигнув установившегося значения $t$, когда энергия, потребляемая из сети за время $d \tau$ , целиком передаётся в окружающую среду, то есть:
$P d \tau = k(t – t_{0}) d \tau$, (1)
где $k$ - коэффициент теплоотдачи, $t_{0}$ температура окружающей среды. Линейная зависимость $P$ от $(t - t_{0})$, описываемая формулой (1), подтверждается результатами, приведёнными в таблице 1. Таблица также позволяет найти $k$ как угловой коэффициент этой зависимости
$k = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = 5 \frac{Дж}{с \cdot К}$. (2)
При охлаждении чайника с горячей водой справедливо равенство
$(cm + C_{0})dt = -k(t – t_{0})d \tau$, (3)
где $m$ - масса воды в чайнике, $dt$ - изменение его температуры за время $d \tau$. Перепишем уравнение (3):
$\frac{dt}{d \tau} = - \frac{k(t-t_{0})}{cm + C_{0}}$.
В начале охлаждения, при $t = t_{f} =80^{ \circ}C$:
$B = \frac{dt}{d \tau} = - \frac{k(t_{f} – t_{0})}{cm + C_{0}}$. (4)
Отношение $B = dt/ d \tau$ равно угловому коэффициенту графика зависимости $t ( \tau)$ в точке $\tau = 0$. Этот угловой коэффициент можно приближённо найти из таблицы 2 по двум-трём первым точкам:
$B \approx – 0, 080 \frac{К}{с}$.
Подставляя $B$ в формулу (4), получим объём $V$ воды в чайнике
$V = \frac{m}{ \rho} = \frac{-k (t_{f} – t_{0}) – BC_{0}}{B c \rho} \approx 0,9 л $.
Если проинтегрировать уравнение (3), то получится:
$t -t_{0} = (t_{f} – t_{0}) e^{- \frac{k \tau}{cm + C_{0}}} = (t_{f} – t_{0}) e^{ - B \frac{\tau}{t_{f} – t_{0}}}$.
На рисунке представлены точки, полученные из таблицы 2, и график этой функции при найденном значении $B$. Видно, что выполненные расчёты согласуются с экспериментом.
