Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7927
2018-05-31 
На оси $x$ находятся приемник и источник звуковых колебаний с частотой $\nu_{0} = 2000 Гц$. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой $\omega$ и амплитудой $a = 50 см$. При каком значении $\omega$ ширина частотного интервала воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять $\Delta \nu = 200 Гц$? Скорость звука $v = 340 м/с$.
Решение:
Очевидно, что максимальная частота будет слышима, когда источник движется с максимальной скоростью к приемнику, и минимальная частота будет слышна, когда источник удаляется с максимальной скоростью. Поскольку гармоники источника гармоничны, его максимальная скорость равна $a \omega$. Следовательно
$\nu_{max} = \nu_{0} \frac{v}{v - a \omega}$ и $v_{min} = \nu_{0} \frac{v}{v + a \omega}$
Таким образом, ширина полосы частот $\Delta \nu = \nu_{max} - \nu_{min} = \nu_{0} v \left ( \frac{2a \omega}{v^{2} - a^{2} \omega^{2} } \right )$
или, $( \Delta \nu a^{2} ) \omega^{2} + (2 \nu_{0}v a ) \omega - \Delta \nu \nu^{2} = 0$
Так что, $\omega = \frac{ - 2 \nu_{0} v a \pm \sqrt{ 4 \nu_{0}^{2}v^{2}a^{2} + \Delta \nu^{2} a^{2} v^{2} } }{2 \Delta \nu a^{2} }$
При упрощении (и принимаем знак + при $\omega \rightarrow 0$, если $\Delta \nu \rightarrow 0$)
$\omega = \frac{v \nu_{0} }{ \Delta \nu a} \left ( \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \Delta \nu}{ \nu_{0} } \right )^{2} } - 1 \right )$
На оси $x$ находятся приемник и источник звуковых колебаний с частотой $\nu_{0} = 2000 Гц$. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой $\omega$ и амплитудой $a = 50 см$. При каком значении $\omega$ ширина частотного интервала воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять $\Delta \nu = 200 Гц$? Скорость звука $v = 340 м/с$.
Решение:
Очевидно, что максимальная частота будет слышима, когда источник движется с максимальной скоростью к приемнику, и минимальная частота будет слышна, когда источник удаляется с максимальной скоростью. Поскольку гармоники источника гармоничны, его максимальная скорость равна $a \omega$. Следовательно
$\nu_{max} = \nu_{0} \frac{v}{v - a \omega}$ и $v_{min} = \nu_{0} \frac{v}{v + a \omega}$
Таким образом, ширина полосы частот $\Delta \nu = \nu_{max} - \nu_{min} = \nu_{0} v \left ( \frac{2a \omega}{v^{2} - a^{2} \omega^{2} } \right )$
или, $( \Delta \nu a^{2} ) \omega^{2} + (2 \nu_{0}v a ) \omega - \Delta \nu \nu^{2} = 0$
Так что, $\omega = \frac{ - 2 \nu_{0} v a \pm \sqrt{ 4 \nu_{0}^{2}v^{2}a^{2} + \Delta \nu^{2} a^{2} v^{2} } }{2 \Delta \nu a^{2} }$
При упрощении (и принимаем знак + при $\omega \rightarrow 0$, если $\Delta \nu \rightarrow 0$)
$\omega = \frac{v \nu_{0} }{ \Delta \nu a} \left ( \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \Delta \nu}{ \nu_{0} } \right )^{2} } - 1 \right )$
