Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7924
2018-05-31 
В однородном стержне, площадь сечения которого $S$ и плотность $\rho$, установилась стоячая волна вида $\chi = a \sin kx \cdot \cos \omega t$. Найти полную механическую энергию, заключенную между сечениями, которые проходят через соседние узлы смещения.
Решение:
У нас есть стоячая волна, заданная уравнением
$\xi = a \sin kx \cos \omega t$
Итак, $\frac{ \partial \xi }{ \partial t} = - a \omega \sin kx \sin \omega t$ (1)
и $\frac{ \partial \xi }{ \partial t} = a \omega \cos kx \cos \omega t$ (2)
Кинетическая энергия, ограниченная элементом длины $dx$ стержня
$dT = \frac{1}{2} ( \rho Sdx) \left ( \frac{ \partial \xi }{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho Sa^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t \sin^{2} kx dx$
Полная кинетическая энергия, ограниченная стержнем
$T = \int dT = \frac{1}{2} \rho Sa^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t \int_{0}^{ \lambda/2 } \sin^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$
или, $T = \frac{ \pi Sa^{2} \omega^{2} \rho \sin^{2} \omega t }{4k}$ (3)
Потенциальная энергия в вышеуказанном элементе
$dU = \int \partial U = - \int_{0}^{ \xi} F_{ \xi} d \xi$, где $F_{ \xi} = ( \rho Sdx) \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial t^{2} }$
или, $F_{ \xi } = - ( - \rho Sdx) \omega^{2} \xi$
Тогда, $dU = \omega^{2} \rho S dx \int_{0}^{ \xi} \xi d \xi$
или, $dU = \frac{ \rho \omega^{2} S \xi^{2} }{2} dx = \frac{ \rho \omega^{2} Sa^{2} \cos^{2} \omega t \sin^{2} kx dx }{2}$
Таким образом, полная потенциальная энергия, в стержне $U = \int dU$
или, $U = \rho \omega^{2}Sa^{2} \cos^{2} \omega t \int_{0}^{ \lambda /2} \sin^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$
Отсюда, $U = \frac{ \pi \rho Sa^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t }{4k}$
Чтобы найти потенциальную энергию, в элементе, мы можем применить более простой способ. Мы знаем, что потенциальная плотность энергии, заключенная в стержне под действием упругой силы, равна:
$U_{D} = \frac{1}{2}$ (напряжение $\times$ деформация) $= \frac{1}{2} \sigma \epsilon = \frac{1}{2} Y \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2} \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \frac{ \rho \omega^{2}}{k^{2} } \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \frac{ \rho \omega^{2} }{k^{2} } \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t \cos^{2} kx$
Следовательно, полная потенциальная энергия, в стержне
$U = \int U_{D} dV = \int_{0}^{ \lambda /2} \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t 2 \cos^{2} kx Sdx = \frac{ \pi \rho S a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t }{4 k}$ (4)
Следовательно, искомая механическая энергия, заключенная в стержне между двумя соседними узлами
$E = T + U = \frac{ \pi \rho \omega^{2} a^{2}S }{4k}$.
В однородном стержне, площадь сечения которого $S$ и плотность $\rho$, установилась стоячая волна вида $\chi = a \sin kx \cdot \cos \omega t$. Найти полную механическую энергию, заключенную между сечениями, которые проходят через соседние узлы смещения.
Решение:
У нас есть стоячая волна, заданная уравнением
$\xi = a \sin kx \cos \omega t$
Итак, $\frac{ \partial \xi }{ \partial t} = - a \omega \sin kx \sin \omega t$ (1)
и $\frac{ \partial \xi }{ \partial t} = a \omega \cos kx \cos \omega t$ (2)
Кинетическая энергия, ограниченная элементом длины $dx$ стержня
$dT = \frac{1}{2} ( \rho Sdx) \left ( \frac{ \partial \xi }{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho Sa^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t \sin^{2} kx dx$
Полная кинетическая энергия, ограниченная стержнем
$T = \int dT = \frac{1}{2} \rho Sa^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t \int_{0}^{ \lambda/2 } \sin^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$
или, $T = \frac{ \pi Sa^{2} \omega^{2} \rho \sin^{2} \omega t }{4k}$ (3)
Потенциальная энергия в вышеуказанном элементе
$dU = \int \partial U = - \int_{0}^{ \xi} F_{ \xi} d \xi$, где $F_{ \xi} = ( \rho Sdx) \frac{ \partial^{2} \xi }{ \partial t^{2} }$
или, $F_{ \xi } = - ( - \rho Sdx) \omega^{2} \xi$
Тогда, $dU = \omega^{2} \rho S dx \int_{0}^{ \xi} \xi d \xi$
или, $dU = \frac{ \rho \omega^{2} S \xi^{2} }{2} dx = \frac{ \rho \omega^{2} Sa^{2} \cos^{2} \omega t \sin^{2} kx dx }{2}$
Таким образом, полная потенциальная энергия, в стержне $U = \int dU$
или, $U = \rho \omega^{2}Sa^{2} \cos^{2} \omega t \int_{0}^{ \lambda /2} \sin^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$
Отсюда, $U = \frac{ \pi \rho Sa^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t }{4k}$
Чтобы найти потенциальную энергию, в элементе, мы можем применить более простой способ. Мы знаем, что потенциальная плотность энергии, заключенная в стержне под действием упругой силы, равна:
$U_{D} = \frac{1}{2}$ (напряжение $\times$ деформация) $= \frac{1}{2} \sigma \epsilon = \frac{1}{2} Y \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2} \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \frac{ \rho \omega^{2}}{k^{2} } \epsilon^{2} = \frac{1}{2} \frac{ \rho \omega^{2} }{k^{2} } \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t \cos^{2} kx$
Следовательно, полная потенциальная энергия, в стержне
$U = \int U_{D} dV = \int_{0}^{ \lambda /2} \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t 2 \cos^{2} kx Sdx = \frac{ \pi \rho S a^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t }{4 k}$ (4)
Следовательно, искомая механическая энергия, заключенная в стержне между двумя соседними узлами
$E = T + U = \frac{ \pi \rho \omega^{2} a^{2}S }{4k}$.
