ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Струна массы $m$ закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с круговой частотой $\omega$ и максимальной амплитудой смещения $a_{макс}$. Найти:
а) максимальную кинетическую энергию струны;
б) среднюю за период колебания кинетическую энергию струны.


Решение:


Пусть две волны $\xi_{1} = a \cos ( \omega t - kx)$ и $\xi_{2} = a \cos ( \omega t + kx)$, накладываются, и в результате у нас получается стоячая волна (результирующая волна) в струне вида $\xi = 2a \cos kx \cos \omega t$.

Согласно задаче $2a = a_{m}$.

Следовательно, стоячая волна, возбуждаемая в струне,

$\xi = a_{m} \cos kx \cos \omega t$ (1)
или, $\frac{ \partial \xi}{ \partial t} = - \omega a_{m} \cos kx \sin \omega t$ (2)

Таким образом, кинетическая энергия, заключенная в элементе струне длины $dx$, задается формулой

$dT = \frac{1}{2} \left ( \frac{m}{l} dx \right ) \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial l} \right )^{2}$

или, $dT = \frac{1}{2} \left ( \frac{m}{l} dx \right ) a_{m}^{2} \omega^{2} \cos^{2} kx \sin^{2} \omega t$

или, $dT = \frac{ma_{m}^{2} \omega^{2} }{2l} \sin^{2} \omega t \cos^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$

Следовательно, кинетическая энергия, ограниченная струной, соответствующей основному тону

$T = \int dT = \frac{ma_{m}^{2} \omega^{2} }{2l} \sin^{2} \omega t \int_{0}^{ \lambda / 2} \cos^{2} \frac{2 \pi}{ \lambda} xdx$

Поскольку для основного тона длина струны $l = \frac{ \lambda}{2}$

Интегрируя, получим, $T = \frac{1}{4} ma_{m}^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t$

Следовательно, искомая максимальная кинетическая энергия равна $T_{max} = \frac{1}{4} ma_{m}^{2} \omega^{2}$,

так как при $T_{max}, \sin^{2} \omega t = 1$

(б) Средняя кинетическая энергия, усредненная за один период колебаний

$\langle T \rangle = \frac{ \int Tdt }{ \int dt } = \frac{1}{4} ma_{m}^{2} \omega^{2} \frac{ \int_{0}^{2 \pi / \omega} \sin^{2} \omega t dt }{ \int_{0}^{2 \pi / \omega} dt}$

или, $\langle T \rangle = \frac{1}{8} ma_{m}^{2} \omega^{2}$.