ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Медный стержень длины $l = 50 см$ закреплен в середине. Найти число продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц. Каковы их частоты?


Решение:



Поскольку медный стержень закреплен в средней точке, он становится пучностью, а два свободных конца будут антипучностями. Таким образом, форма, сформированная в стержне, показана на рис. (а).

В этом случае, $l = \frac{ \lambda}{2}$

Так как, $\nu_{0} = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{ \frac{E}{ \rho} } \sqrt{ \frac{E}{e} }$

где $E$ - модуль Юнга, $\rho$ - плотность меди

Аналогично, вторая пучность или первый обертон в стержне, показано выше на рис. (б).

Значит $l = \frac{3 \lambda}{2}$

Следовательно $\nu_{1} = \frac{2n + 1}{2l} \sqrt{ \frac{E}{ \rho} }$ где $n = 0,1,2 \cdots$

Подстановка значений $E$ и $\rho$ в общее уравнение

$\nu = 3,8 (2n + l) кГц$

Следовательно, $\nu_{0} = 3,8 кГц, \nu_{1}, \nu_{1} = (3,8 \cdot 2) кГц, \nu_{2} = (3,8 \cdot 5) = 19 кГц,$
$\nu_{3} = (3,8 \cdot 7) = 26,6 кГц, \nu_{4} = (3,8 \cdot 9) = 34,2 кГц$,
$\nu_{1} = (3,8 \cdot 11) = 41,8 кГц, \nu_{6} = (3,8) \cdot 13 кГц = 49,4 кГц $ и
$\nu_{7} = (3,8) \cdot 14 кГц > 50 кГц $

Следовательно, искомое число частот от 20 до 50 кГц равно 4.