ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В однородной среде с плотностью $\rho$ установилась продольная стоячая волна вида $\chi = a \cos kx \cdot \cos \omega t$. Найти выражения для объемной плотностей:
а) потенциальной энергии $w_{p} (x, t)$;
б) кинетической энергии $w_{k} (x, t)$.
Изобразить графики распределения объемной плотности полной энергии $w$ в пределах между двумя соседними узлами смещения в моменты $t = 0$ и $t = T/4$, где $T$ — период колебаний.


Решение:


Дано $\xi = a \cos kx \cos \omega t$
(a) Потенциальная плотность энергии (на единицу объема) - это энергия продольной деформации. Таким образом

$w_{p} = \left ( \frac{1}{2 } напряжение \times деформация \right ) = \frac{1}{2} E \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2}$, ( $\frac{ \partial \xi}{ \partial x}$ продольная деформация )

$w_{p} = \frac{1}{2} Ea^{2}k^{2} \sin^{2} kx \cos^{2} \omega t$

Но $\frac{ \omega^{2} }{ k^{2}} = \frac{E}{ \rho}$ или $Ek^{2} = \rho \omega^{2}$

Таким образом $w_{p} = \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \sin^{2} kx \cos^{2} \omega t$

(б) Плотность кинетической энергии равна

$= \frac{1}{2} \rho \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )^{2} = \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \cos^{2} kx \sin^{2} \omega t$

По построению получаем график. Например, при $t = 0$


$w = w_{p} + w_{k} = \frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \sin^{2} kx$

и узлы находятся в $x = \pm \frac{ \pi}{2k}$.