ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В однородной упругой среде установилась плоская стоячая волна вида $\chi = a \cos kx \cdot \cos \omega t$. Изобразить:
а) графики зависимостей от $x$ величин $\chi$ и $\partial \chi / \partial x$ в моменты $t = 0$ и $t = T/2$, где $T$ — период колебаний;
б) графики распределения плотности среды $\rho(x)$ для продольных колебаний в моменты $t = 0$ и $t = T/2$;
в) график распределения скоростей частиц среды в момент $t = T/4$; указать направления скоростей в этот момент в пучностях - для продольных и поперечных колебаний.


Решение:


Дано

$\xi = a \cos k x \omega t$

так как $\frac{ \partial \xi}{ \partial x} = - ak \sin k x \cos \omega t$ и $\frac{ \partial \xi}{ \partial x} = - a \omega \cos kx \sin \omega t$

Таким образом $( \xi)_{t = 0} = a \cos kx, ( \xi)_{t = T/2} = - a \cos kx$
$\left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )_{t = 0} = ak \sin kx, \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )_{t = T/2} = - ak \sin kx$

(a) Графики $( \xi)$ и $\left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right )$ показаны на рисунке


(б) Мы можем вычислить плотность следующим образом:

Возьмем параллелоподобное сечение длины $dx$ с ребрами в $x$ и $x + dx$.

После осцилляции ребро в точке $x$ переходит в $x + \xi (x)$, а ребро в $x + dx$ переходит в $x + dx + \xi (x + dx) = x + dx + \xi(x) + \frac{ \partial \xi}{ \partial x} dx$. Таким образом, объем элемента (первоначально $dx$) становится

$\left ( 1 + \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \right ) dx$

и, следовательно, плотность становится равной $\rho = \frac{ \rho_{0} }{1 + \frac{ \partial \xi}{ \partial x} }$.

При подстановке значений для плотности $\rho(x)$ получаем кривые, показанные на рис. часть (а).

(в) Скорость $v(x)$ в момент времени $t = T/4$ равна

$ \left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial t} \right )_{t = T/4} = - a \omega \cos k x $

График