Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 7911
2018-05-31 
В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна — вдоль оси х, другая — вдоль оси у: $\chi_{1} = a \cos ( \omega t - kx), \chi_{2} = a \cos ( \omega t - ky)$. Найти характер движения частиц среды в плоскости ху, если обе волны:
а) поперечные и направление колебаний одинаково;
б) продольные.
Решение:
(a) Уравнение результирующей волны,
$\xi = \xi_{1} + \xi_{2} = 2a \cos k \left ( \frac{y - x}{2} \right ) \cos \left ( \omega t - \frac{k(x + y}{2} \right ) = a^{ \prime} \cos \left ( \omega t - \frac{k(x + y)}{2} \right )$, где $a^{ \prime} = 2 a \cos k^{ \prime} \left ( \frac{y - x}{2} \right )$
Тогда уравнение волновой картины,
$x + y = k$, (a = сonst)
Для пучности, то есть максимальной интенсивности
$\cos \frac{k(y - x}{2} = \pm 1 = \cos n \pi$
или, $\pm (x - y) = \frac{2n \pi}{l} = n \lambda$
или, $y = x \pm n \lambda, n = 0, 1, 2, \cdots$
Следовательно, частицы среды в точках, лежащие на прямых ($y = x \pm n \lambda$), колеблются с максимальной амплитудой.
Для узлов, т.е. минимальная интенсивность,
$\cos \frac{k(y - c)}{2} = 0$
или, $\pm \frac{k(y - x}{2} = (2n + 1) \frac{ \pi}{2}$
или, $y = x \pm (2n + 1) \lambda /2$,
и, следовательно, частицы в точках, лежащих на пунктирных линиях, не колеблются.
(б) Когда волны являются продольными,
Для искомых участков
$k(y - c) = \cos^{ - 1} \frac{ \xi_{1} }{a} - \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a}$
или, $\frac{ \xi_{1} }{a} = \cos \left ( k(y - x) + \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a} \right ) = \frac{ \xi_{2} }{a} \cos k(y - x) - \sin k(y - x) \sin \left ( \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a} \right ) = \frac{ \xi_{2} }{a} \cos k (y - x) - \sin k(y - x) \sqrt{ 1 - \frac{ \xi_{2}^{2} }{a^{2} } }$ (1)
из (1),
если $\sin k(y - x) = 0 \sin (n \pi)$
$\xi_{1} = \xi_{2} ( - 1)^{n}$
таким образом, частицы среды в точках, лежащих на прямых, $y = x \pm \frac{n \lambda}{2}$ будут колебаться вдоль этих линий (даже $n$) или под прямым углом к ним (нечетное $n$).
Также из (1),
если $\cos k(y - x) = 0 = \cos (2n + 1) \frac{ \pi}{2}$
$\frac{ \xi_{1}^{2} }{a} = 1 - \frac{ \xi_{2}^{2} }{a^{2} }$, - окружность
Таким образом, частицы в точках, где $y = x \pm (n \pm 1/4) \lambda$, колеблются вдоль окружностей.
Все остальные частицы будут двигаться вдоль эллипсов.
В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна — вдоль оси х, другая — вдоль оси у: $\chi_{1} = a \cos ( \omega t - kx), \chi_{2} = a \cos ( \omega t - ky)$. Найти характер движения частиц среды в плоскости ху, если обе волны:
а) поперечные и направление колебаний одинаково;
б) продольные.
Решение:
(a) Уравнение результирующей волны,
$\xi = \xi_{1} + \xi_{2} = 2a \cos k \left ( \frac{y - x}{2} \right ) \cos \left ( \omega t - \frac{k(x + y}{2} \right ) = a^{ \prime} \cos \left ( \omega t - \frac{k(x + y)}{2} \right )$, где $a^{ \prime} = 2 a \cos k^{ \prime} \left ( \frac{y - x}{2} \right )$
Тогда уравнение волновой картины,
$x + y = k$, (a = сonst)
Для пучности, то есть максимальной интенсивности
$\cos \frac{k(y - x}{2} = \pm 1 = \cos n \pi$
или, $\pm (x - y) = \frac{2n \pi}{l} = n \lambda$
или, $y = x \pm n \lambda, n = 0, 1, 2, \cdots$
Следовательно, частицы среды в точках, лежащие на прямых ($y = x \pm n \lambda$), колеблются с максимальной амплитудой.
Для узлов, т.е. минимальная интенсивность,
$\cos \frac{k(y - c)}{2} = 0$
или, $\pm \frac{k(y - x}{2} = (2n + 1) \frac{ \pi}{2}$
или, $y = x \pm (2n + 1) \lambda /2$,
и, следовательно, частицы в точках, лежащих на пунктирных линиях, не колеблются.
(б) Когда волны являются продольными,
Для искомых участков
$k(y - c) = \cos^{ - 1} \frac{ \xi_{1} }{a} - \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a}$
или, $\frac{ \xi_{1} }{a} = \cos \left ( k(y - x) + \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a} \right ) = \frac{ \xi_{2} }{a} \cos k(y - x) - \sin k(y - x) \sin \left ( \cos^{-1} \frac{ \xi_{2} }{a} \right ) = \frac{ \xi_{2} }{a} \cos k (y - x) - \sin k(y - x) \sqrt{ 1 - \frac{ \xi_{2}^{2} }{a^{2} } }$ (1)
из (1),
если $\sin k(y - x) = 0 \sin (n \pi)$
$\xi_{1} = \xi_{2} ( - 1)^{n}$
таким образом, частицы среды в точках, лежащих на прямых, $y = x \pm \frac{n \lambda}{2}$ будут колебаться вдоль этих линий (даже $n$) или под прямым углом к ним (нечетное $n$).
Также из (1),
если $\cos k(y - x) = 0 = \cos (2n + 1) \frac{ \pi}{2}$
$\frac{ \xi_{1}^{2} }{a} = 1 - \frac{ \xi_{2}^{2} }{a^{2} }$, - окружность
Таким образом, частицы в точках, где $y = x \pm (n \pm 1/4) \lambda$, колеблются вдоль окружностей.
Все остальные частицы будут двигаться вдоль эллипсов.
