ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Найти радиус-вектор, характеризующий положение точечного источника сферических волн, если известно, что этот источник находится на прямой между точками с радиус-векторами $\vec{r}_{1}$ и $\vec{r}_{2}$, в которых амплитуды колебаний частиц среды равны $a_{1}$ и $a_{2}$. Затухание волны пренебрежимо мало, среда однородная.


Решение:



Пусть $S$ - источник, вектор положения которого относительно контрольной точки О равно $\vec{r}$. Поскольку интенсивности обратно пропорциональны квадрату расстояний,

$\frac{ Интенсивность \: при P(I_{1})}{Интенсивность \: при Q(I_{2})} = \frac{d_{2}^{2} }{d_{1}^{2} }$

где $d_{1} = PS$ и $d_{2} = QS$.

Но интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды,

так, $\frac{a_{1}^{2} }{a_{2}^{2} } = \frac{d_{2}^{2} }{d_{1}^{2} }$ или $a_{1}d_{1} = a_{2}d_{2} = k$ (скажем)

Таким образом, $d_{1} = \frac{k}{a_{1} }$ и $d_{2} = \frac{k}{a_{2} }$

Пусть $\hat{n}$ единичный вектор вдоль PQ, направленный от P до Q.

Тогда $\vec{PS} = d_{1} \hat{n} = \frac{k}{a_{1} } \hat{n}$
и $\vec{SQ} = d_{2} \hat{n} = \frac{k}{a_{2} } \hat{n}$

Векторное сложение.
$\vec{OP} + \vec{PS} = \vec{OS}$ $\vec{r}_{1} + \frac{k}{a_{1} } \hat{n} = \vec{r}$

или $a_{1} \vec{r}_{1} + k \hat{n} = a_{1} \vec{r}$ (1)

По аналогии $\vec{r} + \frac{k}{a_{2} } \hat{n} = \vec{r}_[2]$ или $a_{2} \vec{r}_{2} - k \hat{n} = a_{2} \vec{r}$ (2)

Добавляя (1) и (2),

$a_{1} \vec{r}_{1} + a_{2} \vec{r}_{2} = (a_{1} - a_{2} ) \vec{r}$

Следовательно $\vec{r} = \frac{a_{1} \vec{r}_{1} + a_{2} \vec{r}_{2} }{a_{1} + a_{2} }$