ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
В однородней среде распространяется плоская упругая волна вида $\chi = a e^{ - \gamma x} \cos ( \omega t - kx)$, где $a, \gamma, \omega$ и $k$ — постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на $\eta = 1,0$%, если $\gamma = 0,42 м^{-1}$ и длина волны $\lambda = 50 см$.


Решение:


В данном волновом уравнении амплитуда смещения частицы $ = ae^{ - \gamma x}$

Пусть две точки $x_{1}$ и $x_{2}$, между которыми амплитуда смещения отличается на $\eta = 1 $%

Итак, $ae^{ - \gamma x_{1} } - ae^{ - \gamma x_{2} } = \eta ae^{ - \gamma x_{1} }$

или $e^{ - \gamma x_{1} } (1 - \eta ) = e^{ - \gamma x_{2} }$

или $ln (1 - \eta) - \gamma x_{1} = - \gamma x_{2}$

или, $x_{2} - x_{1} = - \frac{ln( 1 - \eta) }{ \gamma}$

Таким образом, разность хода $= - \frac{ln( 1 - \eta) }{ \gamma}$

и разность фаз $= \frac{2 \pi}{ \lambda} \times$ разность хода

$= - \frac{2 \pi}{ \lambda} \frac{ln( 1 - \eta) }{ \gamma} \approx \frac{2 \pi \eta}{ \lambda \gamma} = 0,3 рад$.