ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $\chi = 60 \cos (1800t - 5,3x)$, где $\chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.


Решение:


По условию

$\xi = 60 \cos (1800 t 5 \cdot 3 x)$

имеет вид

$\xi = a \cos ( \omega t - kx)$, где $a = 60 \cdot 10^{-6} м$
$\omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

Так как $k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$, $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$

и $k = \frac{ \omega}{v}$, поэтому $v = \frac{ \omega}{k} = 340 м/с$

(a) Искомое отношение $= \frac{a}{ \lambda} = 5,1 \cdot 10^{-5}$
(б) Поскольку $\xi = a \cos ( \omega t - kx)$

$\frac{ \partial \xi}{ \partial x} = - 1 \omega \sin ( \omega t - kx)$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$\left ( \frac{ \partial \xi}{ \partial t} \right )_{m} $ или $v_{m} = a \omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

$= \frac{v_{m} }{v} = \frac{0,11}{340} = 3,2 \cdot \cdot 10^{-4}$

(в) Относительная деформация $= \frac{ \partial \xi}{ \partial x} = ak \sin ( \omega t - kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= \left ( \frac{ \partial \xi }{ \partial x} \right )_{m} = ak = (60 \cdot 10^{-6} \cdot 5,3) м = 3,2 \cdot 10^{-4} м$ (2)

Из уравнений (1) и (2)

$ \frac{ \partial \xi }{ \partial x}_{m} = ak = \frac{a \omega}{v} = \frac{1}{v} \frac{ \partial \xi }{ \partial t}_{m}$

Таким образом, $\frac{ \partial \xi }{ \partial x}_{m} = \frac{1}{v} \frac{ \partial \xi }{ \partial t}_{m}$, где $v = 340 м / с$ - скорость волны,