ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-05-31   
За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние $l$ между точками А и В, если температура воздуха между ними меняется линейно от $T_{1}$ до $T_{2}$? Скорость звука в воздухе $v = \alpha \sqrt{T}$, где $\alpha$ — постоянная.


Решение:


Поскольку температура изменяется линейно, мы можем написать температуру как функцию от $x$, то есть расстояние от точки А до В.

т. е. $T = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1} }{l} x, [0 < x < l]$

следовательно, $dT = \left ( \frac{T_{2} - T_{1} }{l} \right ) dx$ (1)

Для преодоления элементарного расстояния $dx$, которое находится на расстоянии $x$ от A, потребуется некоторое время

$dt = \frac{dx}{ \alpha \sqrt{T} }$ (2)

Из уравнений (1) и (2), выражая $dx$ через $dT$, получаем

$dt = \frac{l}{ \alpha \sqrt{T} } \left ( \frac{l dT}{T_{2} - T_{1} } \right )$

При интеграции дает

$\int_{0}^{t} dt = \frac{l}{ \alpha (T_{2} - T_{1} ) } \int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dT}{ \sqrt{T} }$

или, $t = \frac{2l}{ (T_{2} - T_{1} ) } ( \sqrt{T_{2} } - \sqrt{T_{1} } )$

Следовательно, искомое время $t = \frac{2l}{ \alpha ( \sqrt{T_{1} } - \sqrt{T_{2} } ) }$