Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 790
2016-09-04 
По горизонтальной ледяной поверхности со скоростью $v_{0}$ скользит без трения маленькая цилиндрическая шайба радиусом $R$, вращаясь при этом вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega_{0}$, и налетает на вертикальную стенку под углом $\phi$ (рис.). Коэффициент трения шайбы о стенку равен $\mu$. Потерями энергии, связанными с деформацией шайбы и стенки при ударе, пренебречь. Определите с какими скоростями $v$ и $\omega$ и под каким углом $\psi$ (рис.) шайба отскочит от стенки, если $\omega_{0} > \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ шайба отскочит в обратном направлении, перестанет вращаться?
Решение:
Применим к шайбе закон изменения энергии, а также закон изменения импульса в проекциях на ось $x$, направленную вдоль стенки, и ось $y$, перпендикулярную к ней:
$\frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{mv_{y}^{2}}{2} - \frac{mv_{0x}^{2}}{2} - \frac{mv_{0y}^{2}}{2} = \mu N \Delta S$. (1)
$mv_{x} – mv_{0x} = - \mu N \Delta t$, (2)
$mv_{y} – mv_{0y} = N \Delta t$. (3)
Здесь $v_{x} = v \sin \psi, v_{y} = v \cos \psi, v_{0x} = v_{0} \sin \phi, v_{0y} \cos \phi, N$ - сила нормальной реакции стенки, $\Delta S$ - смещение шайбы вдоль стенки за время удара $\Delta t$. Предполагая, что шайба в течение всего времени $\Delta t$ скользит по стенке, величину $\Delta S$ можно приблизительно выразить так:
$\Delta S = \frac{1}{2}(v_{x} + x_{0x}) \Delta t$.
Подставляя это значение, можно из (1) и (2) получить $v_{y}^{2} = v_{0y}^{2}$. Следовательно, при ударе сохраняется модуль нормальной к стенке составляющей скорости ($v_{y} = v_{0y}$). Тогда из (2) и (3) получим:
$\frac{v_{x} – v_{0x}}{2v_{y}} = - \mu$ или $ \frac{v_{x}}{v_{y}} = \frac{v_{0x}}{v_{y}} - 2 \mu$,
или
$tg \psi = tg \phi – 2 \mu$. (4)
Скорость шайбы после удара о стенку
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = v_{0} \cos \phi \sqrt{1 + (tg \phi – 2 \mu)}$.
Из (4) следует, что быстро вращающаяся шайба отскочит от стенки в перпендикулярном к ней направлении $(\psi =0)$, если $\mu = \frac{tg \phi}{2}$, и в обратном направлении $(\psi = - \phi)$, если $\mu = tg \phi$.
В течение времени столкновения шайба скользит по стене, в результате чего под действием силы трения скольжения скорость вращения шайбы уменьшается. Для нахождения изменения угловой скорости следует применить закон изменения момента импульса:
$I \frac{d \omega}{dt} = - \mu NR$.
Интегрируем это уравнение:
$I (\omega - \omega_{0}) = - \mu NR \Delta t$.
Учтём (3):
$I( \omega - \omega_{0}) =-2 \mu mRv_{0} \cos \phi$.
Отсюда, подставляя $I= mR^{2}/2$, найдём
$\omega = \omega_{0} - \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$.
Ответ справедлив при заданном в условии ограничении $\omega_{0} > \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$, накладываемом на $\omega_{0}$. Если
$\mu \geq \frac{ \omega_{0}R}{4v_{0} \cos \phi}$
то шайба в процессе столкновения перестанет вращаться.
По горизонтальной ледяной поверхности со скоростью $v_{0}$ скользит без трения маленькая цилиндрическая шайба радиусом $R$, вращаясь при этом вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega_{0}$, и налетает на вертикальную стенку под углом $\phi$ (рис.). Коэффициент трения шайбы о стенку равен $\mu$. Потерями энергии, связанными с деформацией шайбы и стенки при ударе, пренебречь. Определите с какими скоростями $v$ и $\omega$ и под каким углом $\psi$ (рис.) шайба отскочит от стенки, если $\omega_{0} > \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ шайба отскочит в обратном направлении, перестанет вращаться?
Решение:
Применим к шайбе закон изменения энергии, а также закон изменения импульса в проекциях на ось $x$, направленную вдоль стенки, и ось $y$, перпендикулярную к ней:
$\frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{mv_{y}^{2}}{2} - \frac{mv_{0x}^{2}}{2} - \frac{mv_{0y}^{2}}{2} = \mu N \Delta S$. (1)
$mv_{x} – mv_{0x} = - \mu N \Delta t$, (2)
$mv_{y} – mv_{0y} = N \Delta t$. (3)
Здесь $v_{x} = v \sin \psi, v_{y} = v \cos \psi, v_{0x} = v_{0} \sin \phi, v_{0y} \cos \phi, N$ - сила нормальной реакции стенки, $\Delta S$ - смещение шайбы вдоль стенки за время удара $\Delta t$. Предполагая, что шайба в течение всего времени $\Delta t$ скользит по стенке, величину $\Delta S$ можно приблизительно выразить так:
$\Delta S = \frac{1}{2}(v_{x} + x_{0x}) \Delta t$.
Подставляя это значение, можно из (1) и (2) получить $v_{y}^{2} = v_{0y}^{2}$. Следовательно, при ударе сохраняется модуль нормальной к стенке составляющей скорости ($v_{y} = v_{0y}$). Тогда из (2) и (3) получим:
$\frac{v_{x} – v_{0x}}{2v_{y}} = - \mu$ или $ \frac{v_{x}}{v_{y}} = \frac{v_{0x}}{v_{y}} - 2 \mu$,
или
$tg \psi = tg \phi – 2 \mu$. (4)
Скорость шайбы после удара о стенку
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = v_{0} \cos \phi \sqrt{1 + (tg \phi – 2 \mu)}$.
Из (4) следует, что быстро вращающаяся шайба отскочит от стенки в перпендикулярном к ней направлении $(\psi =0)$, если $\mu = \frac{tg \phi}{2}$, и в обратном направлении $(\psi = - \phi)$, если $\mu = tg \phi$.
В течение времени столкновения шайба скользит по стене, в результате чего под действием силы трения скольжения скорость вращения шайбы уменьшается. Для нахождения изменения угловой скорости следует применить закон изменения момента импульса:
$I \frac{d \omega}{dt} = - \mu NR$.
Интегрируем это уравнение:
$I (\omega - \omega_{0}) = - \mu NR \Delta t$.
Учтём (3):
$I( \omega - \omega_{0}) =-2 \mu mRv_{0} \cos \phi$.
Отсюда, подставляя $I= mR^{2}/2$, найдём
$\omega = \omega_{0} - \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$.
Ответ справедлив при заданном в условии ограничении $\omega_{0} > \frac{4 \mu v_{0} \cos \phi}{R}$, накладываемом на $\omega_{0}$. Если
$\mu \geq \frac{ \omega_{0}R}{4v_{0} \cos \phi}$
то шайба в процессе столкновения перестанет вращаться.
